白话数据结构-时间复杂度

每一个函数/算法/数据结构都有一个数学意义上的速度（效率）上限，我们用这个渐进上限就可以描述此函数/算法/数据结构的效率。
常用的几个描述符号为，Big-O, Big-Theta,Little-ho,little-omega, Bit-Omega.
注意，在以下语境中，n的意义为“数据量”，因此默认为大于等于0且不为小数，也因此对于任意算法理论效率的极限为1（只用进行一次计算/操作就可完成任务，而不是0）

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Big-O，简称大O，是用来衡量算法效率最常用的符号，可以简单的理解为当数据量趋近于无限大时此算法需要的总时长（上限，意为耗时最长最糟糕的情况）。
例如，某一个算法对于输入数组长度为n时总共要进行的代数计算的次数为：f(n)=4n²-2n+2
当n逐步增大的时候，n的次方的增速远大于2n的增速，在n趋近于无穷大时，此式子的结果可以约等于n的次方----所有的低次方和常数都小的可以忽略，同时系数也变得无关紧要了，可以理解为4乘以无穷大还是等于无穷大。(但其实我们可以忽略系数的原因是在于其定义：此函数在增长到一定程度时总小于一个特定函数的常数倍)
所以对于此式子，其时间复杂度可以写为O(n²)。
一般来说我们见到的算法时间复杂度都是由大O表示的，而大O的计算方法很简单，对于得到的函数式，只用找到次数最高的项，去掉系数以及剩下的低次与常数即可。

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Little-oh，简称小o，和大O类似也是用来衡量算法效率的上限的，它和大O最主要的区别在于，对于任意(小)的n，都必须要满足f(n) 用数学语言描述的话就是，

当f(n) = o(g(n))：
lim f(n)/g(n) = 0
n→∞

重点：【当一个算法服从一个小o式，它一定服从其大O式】

例如
以下式子都是服从大O，但小o为假:

• x² ∈ O(x²)
• x² ∈ O(x² + x)
• x² ∈ O(200 * x²)

以下式子则大小o都服从：

• x² ∈ o(x³) 【x²/x³=1/x，x→∞时1/x→0】
• x² ∈ o(x!)
• ln(x) ∈ o(x)

很明显，对于给出的函数式，其服从的小o式不止一个。

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little-omega，写作ω()，是算法耗时的下限。它和小o一样，是强约束。
数学语言描述为：

当f(n) = ω(g(n))：
lim f(n)/g(n) = ∞
n→∞

例如
4n + 6 ∈ ω(1)【4n + 6 在n→∞时 趋近于∞】

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Big-omega Ω()和大O比较类似，相对较少用到，是一个算法时间效率的下限（意为用时最少的最佳情况所需的基础时间），定义类比于大O，为：此函数在增长到一定程度时总大于一个特定函数的常数倍。

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Big-Theta，写作Ө()，就是上下限的渐进函数一致（大O和大Ω一样）。
意即 x1Ө(...)≤ f(n) ≤x2Ө(...)成立，其实一般常见情况算法(所有的多项式)都是服从某个Ө(...)的。

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对于常见的时间复杂度函数，下面这张图可以给一个直观的大小概念：

渐进1

下面是一个更接近实际数值的图：

渐进2

下面是各种数据结构与相应操作的时间复杂度：

数据结构的时间复杂度

常见排序算法的时间复杂度：

排序算法的时间复杂度