算法题的五种解法

        要解决棘手的算法问题，世上没什么不二法门，不过下面介绍的几种方法可能管用。常言道熟能生巧，题目练习得越多，就越容易确定该采用哪种方法来解决问题。、

        另外，下面这五种方法可以“混搭”使用。也就是说，施以“简化推广法”后，还可以接着尝试“模式匹配法”。

        方法一：举例法

        我们先从你可能熟悉的“举例法”开始，也许你从未听过这种方法。“举例法”是先列举一下具体的例子，看看能否发现其中的一般规则。

        示例：给定一个具体时间，计算时针和分针之间的角度。

        下面以3点27分为例。确定3点的时针位置和27分的分针位置，我们可以画出一个时钟。

         在下面的解法中，h表示小时，m表示分钟。同时，我们假定h的范围是0~23.

        从这些例子可以得出以下规则：

• 分针的角度（从12点整开始算起）：360 × m / 60；
• 时针的角度（从12点整开始算起）：360 ×（h%12） /12+360×（m / 60）×（1/12）；
• 时针和分针之间的角度：（时针的角度-分针的角度）%360。

        简化上述式子可以得到（30h-5.5m）%360。

        方法二：模式匹配法

        模式匹配法是指将现有问题与相似问题作类比，看看能否通过修改相关问题的解法来解决新问题。

        示例：一个有序数组的元素经过循环移动，元素的顺序可能变为“3 4 5 6 7 1 2”。怎样才能找出数组中最小的那个元素？假设数值中的元素各不相同。

        这个问题和下面两个问题有点类似：

• 在一个无序数组中找出最小的元素；
• 在一个有序数组中找出某个特定的元素（比如，通过二分查找法）。

        处理方法

       在无序数组中查找最小元素的算法没多大意思（只要遍历所有元素即可），同时它也没有利用给定信息（即这是一个有序数组），因此这个问题帮不上什么忙。

       然而，二分查找法就非常适合。我们知道，这是个有序数组，只是一部分元素循环移动过。因此元素排序肯定是从小到大，在某一位置突然变小，接着又开始从小到大排列。那个“转折点”正是最小的元素。

       比较中间元素 与末尾元素（6和2），由于MD > RIGHT,可以确定这个转折点就在这两个元素之间。这不符合从小到大的排列顺序，故而表明转折点就在其中。

       如果MID比RIGHT小，说明转折点要么在前半部分，要么根本不存在（此数组严格按照从小到大排序）。不管怎样，将数组逐步二分进行查找，最终找到最小的元素（或是转折点）。

       方法三：简化推广法

       采用简化推广法，我们会分多步走。首先，我们会修改某个约束条件，比如数据类型或数据量，从而简化这个问题。接着，我们转而处理这个问题的简化版本。最后，一旦找到解决简化版问题的算法，我们就可以基于这个问题进行推广，并试着调整简化版的解决方案，让它适用于这个问题的复杂版本。

        示例：从一本杂志里剪下一些单词可以拼凑成一封勒索信。怎样才能断定勒索信（以字符串表示）是否由某本杂志（即另一个字符串）里的单词组成？

        我们可以先这样简化问题：暂时不考虑单词，只当它是字符。也就是说，假设我们从杂志里剪下一些字符拼成了这封勒索信。

        接着，我们只需新建一个数组并数出字符的数量，即可解决这个简化后的勒索信问题。数组中的每个元素对应一个字母。首先，我们数出每个字符在勒索信中出现的次数，然后再遍历正本杂志，确认它是否包含勒索信上的全部字符。

        推广这个算法是，具体做法和上面的差不多。只不过这一回，我们不再创建包含字符计数的数组，而是创建一个散列表，将单词映射到其词频上。

       方法四：简单构造法

       对于某些类型的问题，简单构造法非常奏效。使用简单构造法，我们会先从最基本的情况（比如n=1）来解决问题，一般只需记下正确的结果。得到n=1的结果后，接着设法解决n=2的情况。接下来，有了n=1和n=2的结果，我们就可以试着解决n=3的情况了。

       最后，你会发现这其实就是一种递归算法——知道N-1的正确结果，就能计算出N时的结果。有时，只有等到算出N为3或4时的结果，我们才能从中找到规律，基于前面的结果解决整个问题。

       示例：设计一种算法，打印某个字符串所有可能的排列组合。为简单起见，假设字符串中没有重复字符。

       以字符串abcdefg为例：

       只有“a”的情况，结果为：{“a”}

       然后是“ab”，结果为：{“ab”，“ba”}

       再然后是“abc”，结果会是什么呢？

       此时，问题开始变得“有点意思”了。得到P（“ab”）的答案，怎么才能生成P（“abc”）呢？很简单，新字符是“c”，我们只需在前一种情况的答案也即字符组合的任意位置加一个c就可以了。也就是：

       P（“abc”）=将“c”字符插入P（“ab”）得到的所有字符串的任意位置。

       亦即：P（“abc”）=merge（{“cab”，“acb”，“abc”}，{“cba”，“bca”，“bac”}）。

       最后得出结果：P（“abc”）= {“cab”，“acb”，“abc”}，{“cba”，“bca”，“bac”}。

       既然掌握了其中的套路，我们就可以设计一个递归算法。要生成字符串S1...Sn的所有排列，我们可以先“砍掉”最后一个字符，首先生成S1...Sn-1的所有排列。得到S1...Sn-1所有排列的结果列表之后，我们会循环遍历这个列表，并在每个字符串任意位置插入Sn。

        简单构造法最后往往会演变成递归法。

        方法五：数据结构头脑风暴法

        这种方法看起来有点笨，不管很管用。我们可以快速过一遍数据结构的列表，然后逐一尝试各种数据结构。这种方法很实用，因为一旦找到合适的数据结构（比如说树），很多问题也就迎刃而解了。

        示例：随机生成一些数字，并保存到一个（可扩展的）数组中。如何跟踪数组的中位数？

        数据结构头脑风暴法的过程大致如下。

        链表？恐怕不行——在数字的存取和排序上，链表往往效果不佳。

        数组？也许可以，不过你已经用了一个数组。你有办法让数组保持有序状态吗？这么做开销恐怕比较大。

        二叉树？倒也有可能，因为二叉树非常适合处理排序问题。实际上，如果这棵二叉树是完全平衡的，根结点可能就是中位数。不过，你要小心——如果它包含偶数个元素，那么中位数实际上是中间两个元素的平均值。而中间两个元素不可能都是根结点。因此，二叉树也许可行，我们待会儿再说。

        堆？堆非常适合基本排序，跟踪最大值和最小值。对其实也很有意思——只用两个堆，就能跟踪较大 那一半元素和较小的那一半元素。较大的一半保存在小顶堆中，其中最小元素位于堆顶。较小的一半则保存在大顶堆中，其中最大元素位于堆顶。现在，有了这些数据结构，整个数组的中位数很可能就是两个堆顶之一。如果这两个堆大小不一样，你可以从元素较多的堆中弹出一个元素并压入另一个堆中，两个堆很快就能“重获平衡”。

            切记，问题演练得越多，你就越容易判断该选用哪种数据结构。当然了，你也能更自如地从这五种方法中选出最管用的那种。

                                                               ——摘自《程序员面试金典(第5版)》