Laplace定理及几个计算行列式的偷懒公式

Laplace定理

在$n$阶行列式$|A|$中

• 选择第$i_1,i_2,......,i_k$行，且$i_1<i_2<...<i_k$
  $$\Downarrow$$
• $|A|=$$k$行元素形成的所有$k$阶子式与它们的代数余子式的乘积的和
• $$|A|=\sum _{1\le j_1<j_2<...<j_k\le n}A\left(\begin{array}{ccc}{i}_1& ...& i_k\\ j_1& ...& j_k\end{array}\right)(-1{)}^{(i_1+...+i_k)+(j_1+...+j_k)}A\left(\begin{array}{ccc}{i}_1^{\prime }& ...& i_{n-k}^{\prime }\\ j_1^{\prime }& ...& j_{n-k}^{\prime }\end{array}\right)$$

偷懒公式

• $$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ O& C\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ B& C\end{array}\right|=|A|\ast |C|$$
• $$\left|\begin{array}{cc}O& A_{k\times k}\\ B_{r\times r}& C\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& A_{k\times k}\\ B_{r\times r}& O\end{array}\right|=(-1{)}^{k\ast r}|A|\ast |B|$$