线性代数学习笔记（二十四）——向量组的秩（一）
本篇笔记首先回顾了矩阵的秩，然后通过两个例子引入了极大线性无关组的定义，并由极大无关组定义介绍了一些结论，还介绍了相关定理；然后给出了向量组秩的定义，以及一些结论和定理；向量组的秩与矩阵的秩，定义方式完全不同，但两者之间却有千丝万缕的联系，后面还会总结它们之间的关系。
0 矩阵的秩回顾
非 零 子 式 的 最 高 阶 数 \color{red}{非零子式的最高阶数} 非零子式的最高阶数。
1 极大线性无关组
举例1： ( 1 0 ) , ( 2 0 ) , ( 0 5 ) , ( 0 10 ) \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix} (10),(20),(05),(010)。
不难发现， ( 2 0 ) 是 ( 1 0 ) \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}是\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} (20)是(10)的 2 2 2倍， ( 0 10 ) 也 是 ( 0 5 ) \begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix}也是\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix} (010)也是(05)的 2 2 2倍，
所以似乎有些向量有“多余”，只要保留 ( 1 0 ) , ( 0 5 ) \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix} (10),(05)就够用了，
使用这两个向量就可以把所有的向量都表示出来。
举例2： △ ▵ △ , ∘ ◯ , ☐ □ \triangle▵\triangle,\circ\bigcirc,☐\Box △▵△,∘◯,☐□。
使用 △ , ◯ , □ \triangle,\bigcirc,\Box △,◯,□就可以代表。
这就是极大线性无关组的基本思想。
定义：若向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r , α r + 1 , . . . α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},...\alpha_s α1,α2,...,αr,αr+1,...αs中的每个向量，都可以由其 线 性 无 关 ‾ \underline{线性无关} 线性无关的部分组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr线性表示，则称该部分组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr为原向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
举例：向量组为 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5 α1,α2,α3,α4,α5，部分组为 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2，满足
① α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2线性无关，
② 向量组中 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5 α1,α2,α3,α4,α5每个向量都可由 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2线性表示，
则 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2为向量组的 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5 α1,α2,α3,α4,α5的一个极大线性无关组。
α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2是极大无关组有两层含义：
① α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2线性无关，
② 极大，找线性无关的向量组的向量个数最大。
由极大无关组的定义可得：
① 全是零向量的向量组，没有极大无关组；
1）只有全是零量的向量组没有极大无关组；
2）任何一个向量组，只要含有非零向量，就一定存在极大无关组。
② 线性无关向量组的极大无关组是其本身；
③ 任何向量组均与其极大无关组等价。
例如向量组： α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5 α1,α2,α3,α4,α5，极大无关组： α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2，
1）使用向量组线性表示极大无关组
α 1 = 1 × α 1 + 0 × α 2 + 0 × α 3 + 0 × α 4 + 0 × α 5 \alpha_1=1\times\alpha_1+0\times\alpha_2+0\times\alpha_3+0\times\alpha_4+0\times\alpha_5 α1=1×α1+0×α2+0×α3+0×α4+0×α5，
α 2 = 0 × α 1 + 1 × α 2 + 0 × α 3 + 0 × α 4 + 0 × α 5 \alpha_2=0\times\alpha_1+1\times\alpha_2+0\times\alpha_3+0\times\alpha_4+0\times\alpha_5 α2=0×α1+1×α2+0×α3+0×α4+0×α5
2）使用极大无关组线性表示向量组中的向量
（极大无关组的定义）
综上所述， 向 量 组 ≌ 极 大 无 关 组 向量组≌极大无关组 向量组≌极大无关组。
定理3.3.1：向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r , α r + 1 , . . . α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},...\alpha_s α1,α2,...,αr,αr+1,...αs的部分组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr是极大线性无关组的充要条件是：① α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr线性无关，② 任意 r + 1 r+1 r+1个向量都线性相关。
由该定理可以看出：一个向量组的极大无关组是该向量组的所有线性无关部分组中所含向量个数最多的一个。
向量组的极大线性无关组不一定是唯一的，
例如前面的例子 ( 1 0 ) , ( 2 0 ) , ( 0 5 ) , ( 0 10 ) \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix} (10),(20),(05),(010)中，
其极大线性无关组可以是 ( 1 0 ) , ( 0 5 ) \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix} (10),(05)，
也可以是 ( 2 0 ) , ( 0 5 ) \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix} (20),(05)等，
所以一般的来说，向量组的极大线性无关组是不唯一的。
虽然向量组的极大线性无关组不一定为唯一，但它们却有一个共同的性质。
定理3.3.2：一个向量组的任意两个极大无关组，都含有相同个数的向量。
证明：因为 一 个 极 大 无 关 组 ≌ 向 量 组 ≌ 另 一 个 极 大 无 关 组 一个极大无关组≌向量组≌另一个极大无关组 一个极大无关组≌向量组≌另一个极大无关组，
根据向量组等价的传递性可知， 一 个 极 大 无 关 组 ≌ 另 一 个 极 大 无 关 组 一个极大无关组≌另一个极大无关组 一个极大无关组≌另一个极大无关组，
根据上一篇博客推论3.2.2可知，两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。
2 向量组的秩
定义： 极 大 无 关 组 所 含 向 量 的 个 数 \color{red}{极大无关组所含向量的个数} 极大无关组所含向量的个数。记作： r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) r(α1,α2,...,αs)。
向量组的秩与矩阵的秩，定义方式完全不同，但两者之间却有千丝万缕的联系。
规定：全是零向量的向量组秩为零，即 r ( O , O , . . . , O ) = 0 r(O,O,...,O)=0 r(O,O,...,O)=0。
① 任何向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs，均有 0 ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ≤ s 0{\le}r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s){\le}s 0≤r(α1,α2,...,αs)≤s；
举例： α 1 = ( 1 1 2 ) , α 2 = ( 1 1 6 ) , α 3 = ( 8 9 0 ) , α 4 = ( 0 5 3 ) , α 5 = ( 8 8 1 ) \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\1\\6\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}0\\5\\3\end{pmatrix},\alpha_5=\begin{pmatrix}8\\8\\1\end{pmatrix} α1=⎝⎛112⎠⎞,α2=⎝⎛116⎠⎞,α3=⎝⎛890⎠⎞,α4=⎝⎛053⎠⎞,α5=⎝⎛881⎠⎞。
0 ≤ r ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 α 5 ) ≤ 5 0{\le}r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\alpha_5){\le}5 0≤r(α1,α2,α3,α4α5)≤5，
其实上述向量组最多找到 3 3 3个向量的极大无关组，因为是 3 3 3维向量组，
所以，根据上一篇博客推论3.2.1可知： 4 4 4个 3 3 3维向量必线性相关，
故对任何向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs，均有 0 ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ≤ m i n { 向 量 个 数 , 向 量 维 数 } 0{\le}r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s){\le}\color{red}{min\{向量个数,向量维数\}} 0≤r(α1,α2,...,αs)≤min{向量个数,向量维数}；
② 向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性无关 ⟺ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = s {\Longleftrightarrow}r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=s ⟺r(α1,α2,...,αs)=s；
因为向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性无关，
所以它的极大无关组就是其本身，
故它的秩为 s s s。
③ 向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性相关 ⟺ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < s {\Longleftrightarrow}r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)⟺r(α1,α2,...,αs)<s。
上述②③给出了利用向量组的秩来判断向量组线性相关性的一种方法。
定理3.3.3：如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs可由向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt线性表示，则 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ≤ r ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s){\le}r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) r(α1,α2,...,αs)≤r(β1,β2,...,βt)。
特别地，若上述两个向量组等价，那么 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = r ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) r(α1,α2,...,αs)=r(β1,β2,...,βt)。
即等价向量组有相同的秩，但反之不然，向量组有相同的秩不一定等价。
3 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_3.3 向量组的秩（一）