下三角矩阵线性方程的求解

【1】下三角矩阵线性方程的求解◀

【2】矩阵的LU分解初步：一个对角线上元素非零的方阵

对于一个下三角矩阵矩阵我们可以非常容易地利用消元的方式求解。

线性方程

$$\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 &. &.  &.  &0 \\ 
a_{21} &a_{22}  &.  &.  &.  & 0\\ 
 .&  .&  .&  &  & .\\ 
 .&  .&  &  .&  & .\\ 
 .&  .&  &  &  .&. \\ 
 a_{m1}&a_{m2}  &a_{m3}  &.  &.  &a_{mm} 
\end{bmatrix}\
\begin{bmatrix} 
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}\\ 
x_{4}\\ 
x_{5}\\ 
x_{6}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
b_{1}\\ 
b_{2}\\ 
b_{3}\\ 
b_{4}\\ 
b_{5}\\ 
b_{6}
\end{bmatrix}$$

我们将其重写为等式

$$
a_{11}x_{1}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\
.\\
.\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mm}x_{m}=b_{m}\\$$

对于第一个等式，我们可以解得\(x_{1}=\frac{b_{1}}{a_{11}}\)

对于第二个等式，我们有\(x_{2}=\frac{b_{2}-a_{21}x_{1}}{a_{22}}，代入x_{1}\)可以解得\(x_{2}\)

对于第三个等式，我们有\(x_{3}=\frac{b_{3}-(a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2})}{a_{33}}\)，代入\(x_{1}\)，\(x_{2}\)可以解得\(x_{3}\)

如此重复以上，我们可以得到一般的递推解$$x_{m}=\frac{b_{m}-\sum_{i=1}^{m-1}a_{mi}x_{i}}{a_{mm}}$$

利用计算机，我们可以在\(O(N^2)\)的时间内求解，以下给出其核心程序

        VecX[0] = VecB[0] / MatA[0][0];
	for (i = 1; i < Row; i++)
	{
		for (j = 0; j < i; j++)
			sum += MatA[i][j] * VecX[j];
		VecX[i] = (VecB[i] - sum) / MatA[i][i];
		sum = 0;
	}