正交矩阵之旋转与镜射

正交矩阵

假设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵, 满足

$$A^{\mathsf{T}}A=A{A}^{\mathsf{T}}=I$$

即 $A^{\mathsf{T}}=A^{-1}$, 称 $A$ 正交矩阵(orthogonal matrix). 由上式可知: $\Vert A\Vert =\pm 1$.

设 $A=[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n],{\alpha }_i$ 为 $A$ 的列向量, 满足

$${\alpha }_i\cdot {\alpha }_j=\{\begin{array}{l}1i=j\\ 0i\ne j\end{array}$$

即正交矩阵的列向量是 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基.

正交矩阵满足如下性质:

1. 对于任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$, $$(A\mathbf{x}{)}^{\mathsf{T}}(A\mathbf{y})={\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}\mathbf{y}$$
2. 对于任一 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$, $$\Vert A\mathbf{x}\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert$$
3. 对于任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$, $$\Vert A\mathbf{x}-A\mathbf{y}\Vert =\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$$

上述性质采用循环式证明不难验证

假设 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x},\mathbf{x}\ne 0$, 利用性质 2

$$\Vert \mathbf{x}\Vert =\Vert A\mathbf{x}\Vert =\Vert \lambda \mathbf{x}\Vert =|\lambda |\Vert \mathbf{x}\Vert$$

得到: $|\lambda |=1$, 即正交矩阵的特征值的绝对值等于 $1$.

旋转

若 $\Vert A\Vert =1$, 则成正交矩阵 $A$ 为旋转矩阵. 当 $n=2$ 时, 逆时针旋转 $\theta$ 角度的旋转矩阵为:

$$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$$

显然, $R(\theta {)}^{\mathsf{T}}=R(-\theta )=R^{-1}(\theta )$, 且

$$\Vert R(\theta )\Vert ={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$

以及 $R(\theta )$ 的特征值为 $\cos \theta \pm i\sin \theta$, 其中 $i=\sqrt{-1}$.

镜射

令 $\mathcal{U}$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间，且 $P$ 是值域为 ${\mathcal{U}}^{\perp }$ 的正交投影矩阵，满足

$$P^2=P=P^T$$

给定 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$, 写出 $\mathbf{x}=P\mathbf{x}+(I-P)\mathbf{x}$, 其中 $P\mathbf{x}\in {\mathcal{U}}^{\perp }$, $(I-P)\mathbf{x}\in \mathcal{U}$, 因为

$$\begin{array}{rl}(P\mathbf{x}{)}^{\mathsf{T}}(I-P)\mathbf{x}& ={\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}{P}^{\mathsf{T}}(I-P)\mathbf{x}\\ & ={\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}(P-P^2)\mathbf{x}=0\end{array}$$

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假设 $n=3$, 如上图所示, 令

$$S\mathbf{x}=P\mathbf{x}+(P-I)\mathbf{x}=(2P-I)\mathbf{x}$$

对于子空间 ${\mathcal{U}}^{\perp }$，我们称 $S\mathbf{x}$ 是点 $\mathbf{x}$ 的镜射点，镜射矩阵为

$$S=2P-I$$

假设 $n=2$,

• 若 ${\mathcal{U}}^{\perp }=\{0\}$, 则正交投影矩阵为 $P_1=0$, 对于原点的镜射矩阵则为 $S_1=-I_2$.

• 若 ${\mathcal{U}}^{\perp }=L$ 为一穿越原点的直线, 称为镜射轴, 设 $L$ 与正 $X$ 轴的夹角为 $\varphi$ (以下夹角皆为逆时针转角).

令 $\mathbf{v}=[\cos \varphi ,\sin \varphi {]}^{\mathsf{T}}$ 代表镜射轴 $L$ 的方向向量, 即 $L=\text{span}\{\mathbf{v}\}$. 写出映至直线 $L$ 的正交投影矩阵
$$P_2=\frac{\mathbf{v}{\mathbf{v}}^{\mathsf{T}}}{{\mathbf{v}}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}}=\mathbf{v}{\mathbf{v}}^{\mathsf{T}}$$
相应的, 镜射轴 $L$ 的镜射矩阵为
$$\begin{array}{rl}{S}_2& =2\mathbf{v}{\mathbf{v}}^T-I\\ & =\left[\begin{array}{cc}2{\cos }^2\varphi -1& 2\cos \varphi \sin \varphi \\ 2\sin \varphi \cos \varphi & 2{\sin }^2\varphi -1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\cos 2\varphi & \sin 2\varphi \\ \sin 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{array}\right]\end{array}$$

原文链接:
matnoble.me/posts/rotationandmirroring/