CodeForces - 1307D Cow and Fields(最短路+思维)

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题目大意：给出一个由 n 个点和 m 条边组成的无向图，其中有 k 个点被标记了，题目要求选出两个被标记的点，连接一条边，使得从点 1 到点 n 的最短路最大

题目分析：读完题后，大部分同学应该都会在脑中浮现出一个 n * n 的做法吧，那就是先用bfs求出 dis[ i ][ 0 ] 和 dis[ i ][ 1 ] ，分别表示从点 1 到点 i 的距离和从点 n 到点 i 的距离，然后两层循环枚举被标记的点，计算出 dis[ i ][ 0 ] + dis[ j ][ 1 ] + 1 的最大值就是答案了，思路确实没有问题，现在的问题是如何优化

先来考虑一个比较简单的事情，假如现在有两个点 i 和 j ，如果其建边的话，最短路可能是 1 -> i -> j -> n 或者 1 -> j -> i -> n，这样代表的距离也就是 dis[ i ][ 0 ] + dis[ j ][ 1 ] + 1 和 dis[ i ][ 1 ] + dis[ j ][ 0 ] + 1 了，因为题目要求的是最短路，所以很显然会选择更小的那一个，换句话说，当满足 dis[ i ][ 0 ] + dis[ j ][ 1 ] + 1 < dis[ i ][ 1 ] + dis[ j ][ 0 ] + 1 时，我们会选择前者，通过移项以及约分，不难化简到：dis[ i ][ 0 ] - dis[ i ][ 1 ] < dis[ j ][ 0 ] - dis[ j ][ 1 ]，这个公式又代表什么呢？也就是说，当我们现在有两个被标记的点时，dis[ i ][ 0 ] - dis[ i ][ 1 ] 更小的这个点会放在前面，而另外一个点会放在后面

得出这个结论后，我们就可以先对 k 个点按照 dis[ i ][ 0 ] - dis[ i ][ 1 ] 从小到大的顺序排序，因为我们需要维护 dis[ i ][ 0 ] + dis[ j ][ 1 ] + 1 的最大值，我们暂且规定点 i 在点 j 的前面，也就是如果点 i 和点 j 建边的话，一定满足最短路是 1 -> i -> j -> n 的，这样我们O(n)枚举一遍位于后面的点 j ，然后找到点 j 前面的 dis[ i ][ 0 ] 的最大值，也就是前缀的最大值，这样可以保证相加之和是最大的，最后记得特判一下上限就好了，上限是原图的最短路

代码：

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