【12年特长生第二题】【DP】K上升段

$$K上升段$$

---

题目

对于自然数1…n的一个排列A[1…N] 可以划分为若干个单调递增序列。每个单调递增序列由连续元素A[st…ed]组成，且满足以下条件：
$1<=st,ed<=n;$
$A[i]<A[i+1](st<=i<=ed-1)$
$ed=n或者A[ed]>A[ed+1]$
例如：排列1 2 4 5 6 3 9 10 7 8 可划分为3个单调递增序列 1 2 3 4 5 6；3 9 10 ；7 8 ； 所以我们称这是一个 3上升段序列 。
现在给定n和k , 求出n的全排列中的，k上升段序列的个数。

---

输入

输入仅有1行，包含两个数n, k（1 < n < 20, 1 < k < n）。

输出

输出n的所有k上升段的个数。

---

输入样例

K.IN
3 2

输出样例

K.OUT
4

---

说明

( 说明，符合条件的排列是１３２，３１２，２１３，２３１)

---

解题思路

这题我们用$DP$来做
设$f[i,j]$为从$1i$分$j$段符合的排序的个数
$F[i][j]=(i-j+1)\ast f[i-1][j-1]+j\ast f[i-1][j];(i<=n,j<n)$

其中i表示i的全排列，j表示划分的段数

程序如下

#include
#include
#include 
#include

using namespace std;

int n,k;

long long f[2001][2001];

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	for(int j = 1; j <= k; ++j)
	if(i == j) f[i][j] = 1;
	else f[i][j] = j * f[i - 1][j] + (i - j + 1) * f[i - 1][j - 1];
	printf("%lld", f[n][k]);
	return 0;
}