NOIP大纲整理：（十）动态规划巩固与提高1：DP与记忆化搜索概念
记忆化搜索概念讲解
经典例题：数字金字塔（Luogu 1216）
写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。
我们现在这里讨论搜索如何实现：
状态：目前在第x行第y列
行动：向左走，向右走
例如：一个底边为4的三角形共有八种状态：
我们按照一般的搜索思路，进行深度优先搜索：
void dfs(int x,int y,int val)
{
val+=a[x][y];//加上权值
if(x==n-1)
{
if(val>ans)ans=val;//更新更大的ans
return;
}
dfs(x+1,y,val);//往左边走
dfs(x+1,y+1,val);//往右边走
}考虑时空效率，DFS确实很暴力啊，有没有什么优化呢？？
我们引入“冗余搜索”这个概念：无用的，不会改变答案的搜索
例子：观察下面两个例子。用两种方式都能到达第 3 行第 2 列，只是路径不同，同时走到这个点两条路权值和不一样，其中一个总和为 8，一个总和 12。
那么可以观察可得，总和为 8 的搜索是冗余的(不会改变答案)，即使不继续搜索，答案也不会改变。
因为 12 往下搜索，无论往左往右，都会比 8 对应的路径大。
可见，冗余就是剪枝的“枝”，那么如何利用冗余搜索，来优化程序呢？
我们可以对于每一个位置记录一个值 F，代表搜索到此位置时，最大的路径和是多
少，这样如果搜到某一个位置时候，路径和不大于记录值F，说明这个搜索是冗余搜索，直接退出，如果大于，就需要更新F值并且继续搜索。
我们就把这种搜索叫做记忆化搜索，根据之前的“记忆”来优化搜索；在这道题中，每个位置的“记忆”就是最大的路径和
//T1:数字金字塔（记忆化搜索）
void dfs(int x,int y,int val)
{
val+=a[x][y];
// 记忆化过程
if(val<=f[x][y])return;//发现冗余搜索，退出
f[x][y]=val;//f[x][y]记录这个点当前最大权值
if(x==n-1)//如果搜到了最后一个点，ans更新保存最大值，退出即可
{
if(val>ans)ans=val;
return;
}
dfs(x+1,y,val);//继续搜索
dfs(x+1,y+1,val);
} 01背包问题
经典例题：采药（Luogu 1048）
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
草药 1 ：时间 71；价值 100
草药 2 ：时间 69；价值 1
草药 3 ：时间 1 ；价值 2
@最优选择：草药 2+3：总时间 70；总价值 3
这题是经典的背包问题，和金字塔问题不同的地方在于：它是有重量限制的。
我们还是先用记忆化搜索来思考这个问题：
状态：目前已经决定到第x件物品，当前背包中物品总重量为w，总价值为v；
行动：这件物品取还是不取；
约束：物品总重量不超过w（背包总重量）；
目标：物品总价值最大；
比较下列两种情况：
状态相同：x1=x2(当前搜索到同一件物品)，w1=w2(当前总重量相等)；
价值不同：但它们的背包总价值不同，其中v1 则我们可以说状态1为冗余的，因为它肯定比状态2要差。 *记忆化：对于每个状态（x，w），记录对应的v的最大值。 那好的，说完记忆化搜索我们回到正题：动态规划啦！记忆化搜索是DP的基础。 我们再回到数字金字塔这个问题来，下图的黑色三角形是我们记忆化搜索的路径，我们想想，是不是可以不通过记忆化搜索就能得到这个黑色三角形？？ 最优性：设走到某一个位置的时候，它达到了路径最大值，那么在这之前，它走的每一步都是最大值。 -考虑这条最优的路径：每一步均达到了最大值 最优性的好处：要达到一个位置的最优值，它的前一步也一定是最优的。 -考虑图中位置，如果它要到达最优值，有两个选择，从左上方或者右上方的最优值得到： 所以从这里，定义动态规划（DP）：只记录状态的最优值，并用最优值来推导出其他的最优值。 记录 F[i][j] 为第 i 行第 j 列的路径最大值，有两种方法可以推导：（两个分支两种状态，选取最大） @顺推：用 F[i][j] 来计算 F[i+1][j],F[i+1][j+1] @逆推：用 F[i-1][j],F[i-1][j-1] 来计算 F[i][j] 这两种思考方法也是动态规划中最基本的两种方法，解决绝大部分DP我们都可以采用这样的方法。 *转移方程：最优值之间的推导公式。 @顺推： F[i+1][j]= MAX (F[i][j] + a[i+1][j]); F[i+1][j+1]= MAX (F[i][j] + a[i+1][j+1]); @逆推： F[i][j]= MAX (F[i-1][j], F[i-1][j-1]) + a[i][j]; (注意！逆推时要注意边界情况！ ) 顺推和逆推本质上是一样的（复杂度一致）；顺推和搜索的顺序类似；而逆推则是将顺序反过来；顺推考虑的是“我这个状态的下一步去哪里” ，逆推的考虑的是“从什么状态可以到达我这里” 。同时在转移的过程中我们要时刻注意边界情况。 我们还可以改变搜索顺序： *转移顺序：最优值之间的推导顺序 一个小问题：在数字金字塔中，为什么能够使用动态规划呢？？答：因为有明确的顺序：自上而下，也就是说，能划分成不同的阶段，这个阶段是逐步进行的，这和搜索顺序也是类似的，所以，只要划分好阶段，从前往后推，与从后往前推都是可以的 接下来我们进入重点，还是回到刚才的采药问题，我们回忆刚才这题的记忆化搜索。 状态设计：记录 F[i][j] 为，已经决定前 i 件物品的情况，在总重量为 j 的情况下，物品总价值的最大值。同样也是有两种方法可以推导： @顺推： “我这个状态的下一步去哪里” @逆推： “从什么状态可以到达我这里” 当前状态： F[i][j] 为，已经决定前 i 件物品的情况，在总重量为 j的情况下，物品总价值的最大值。 @顺推： “我这个状态的下一步去哪里” ：我现在要决定下一件物品取还是不取。 >如果不取的话，可以达到状态 F[i+1][j]； >如果取的话，可以达到状态 F[i+1][j+w[i+1]](需要满足重量约束); @逆推： “从什么状态可以到达我这里” ：考虑我这件物品取不取。 >如果是不取的，那可以从 F[i-1][j] 推导而来； >如果是取的，可以从 F[i-1][j-w[i]] 推导而来的(同样需要满足重量约束) 学到这里，我们大概摸清了动态规划的轮廓是什么，使用动态规划较DFS解决了时间上的问题，那么我们可不可考虑解决一下空间上的问题呢？由于动态规划满足”无后效性原则“，当前状态F[i]之和上一个状态F[i-1]有关，和上个状态之前的都没有关系，所以我们可以考虑使用滚动数组来保存这两个状态，一上一下，互为前后状态，节省空间啊！！ 这就是——数组压缩！ 所以一个直观的做法是，记录两个数组，分别记录 F[i-1] 与 F[i] 的值。 *但更进一步，我们可以甚至不记录两行，只记录一行的状态。 -我们倒着枚举，在 F[i-1] 数组中逐步更新，让它逐步变为 F[i]。 因为是倒着枚举的，先枚举的位置都已经无用了，可以直接用 F[i] 的元素来替换。 //T5:采药（记忆化搜索）
void dfs(int t,int x,int val)//t为剩余时间，x为当前决定的第几株草药，val为总价值
{
//记忆化
if(val<=f[t][x])return;
f[t][x]=val;
if(x==n)//把草药采摘完了，直接返回
{
if(val>ans)ans=val;//更新最大值ans
return;
}
dfs(t,x+1,val);
if(w[x]<=t)dfs(t-w[x],x+1,val+v[x]);//如果我们还有时间，继续采摘！
}
//T2:数字金字塔-顺推（有点类似于记忆化搜索的思路）
f[0][0]=a[0][0];
for(int i=0;i//T4:数字金字塔-逆推（自顶向下）
f[0][0]=a[0][0];
for(int i=0;i//T3:数字金字塔-逆推/路径自底向上
//改变顺序：记录从底部向上走的路径最优值
for(int i=0;i
//T6:采药（DP/顺推）
for(int i=0;i
//T10:采药（DP/逆推/数组压缩）
//用一个一维数组来代替二维数组
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=t;j>=0;--j)//重量：倒着枚举
{
//不取：对数组没有影响
//f[i][j]=f[i-1][j];
//取
//if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
if(j>=w[i])f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);//如果还有采药时间，执行
}
//在枚举过程中，大于j的位置等于f[i][j]，小于j的位置等于f[i-1][j]