白话背包之01背包
前言：这个学习笔记是去年第一次暑假集训的时候写的，时隔一年重新来看这个文章......感慨万千，点燃一根烟，下意识的摸摸自己的菊......哦不！摸摸自己的额头-----这都写的什么玩意儿！！！好吧，重新整理，希望自己以后看的时候能一目了然，如果对刚入门的童鞋有帮助那是最好不过滴
内容：
1，了解01背包以及问题所在
2，引入01背包，详细分析二维数组dp过程（结合自己画的“烂”图）
3，分析优化的一维数组dp
一：首先关于01背包问题：
有N个物品，每个物品（只有唯一一个） i 对应有重量w[i]、价值va[i]。有一个背包可以放M重的物品，现在让你从N个物品中选择几个物品(每单个物品要么选择，要么不选择)，在不超过背包上限情况使得背包装的价值最大。
分析：我们最开始接触，可能遇到以下两个问题
1，首先第一个问题：你可能很容易想到普通背包问题，也就是贪心算法，按每件物品的价值比(价值/重量)获得单件物品的性价比从大到小排序，那样就可以每次选所有物品中价值比最大的，直到背包放不下。但是不幸的是这样的做法就错啦，比如：
N = 3，背包容量 M = 7：
价值 重量 价值比
物品1 5 5 1
物品2 3 1 3
物品3 4 2 2
按贪心算法，我们会先取 物品2，然后取物品3，收益为7....背包还剩空间7-1-2=4然后就放不下重量为5的物品1啦。但是很明显的就是这不是收益最大的方法，你可以选物品1、2，收益为8，也不会超空间，也可以选择物品1、3.....反正你就是错啦。
2，然后就是第二个问题：那么很明显，这N个物品(每件选或不选)可以组成的情况用排列组合就可以知道：情况有 2*2*2*......也就是2^N种情况，成指数级，难不成你想枚举所有的情况吗？(扯蛋的废话请忽略：这比N^2复杂度还要大，不信咱算算，N=1时：2^1=2,1^2=2,诶.....好像哪里不对劲，再来看看，N=3时：2^3=8,3^2=9....诶我嘞个去...怎么情况相反了是咋回事。我数学不好，你别骗我呀......)
----------------------------------------------------------------------------------------------------
二：于是这里我们引进了01背包：
1，首先，动态规划都有一个状态转移方程（自己开始老是理解不了），等会先给出，然后结合例子说
2，有一个一维（叫做“滚动数组”）的数组还有一个二维的数组，这里先从二维的写起，个人觉得起步时理解二维的要容易！！
状态转移方程:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+va[i]); 那么先解释这个方程的意思，开始没懂不要紧，后面结合图表理解。。dp[i][j]表示：把第 i 件物品放入空间大小为 j 的背包的最大价值 ，w[i]表示第 i 件物品的重量，va[i] 表示第 i 件物品的价值；
那么这里先稍微注意一下 dp[i-1]，我们理解为：没放第i件物品的状态。从动态方程容易看出，每考虑一件物品dp[i]，是依赖前面已有的情况dp[i-1]来确定的，正是因为这样，才让复杂度从指数级得以优化
下面给出这个二维数组的计算过程：(开始没理解也不要紧，可以看看循环的作用)
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=1;i<=N;i++) //这里枚举每一个物品 w[i]表示第i个物品的重量，va[i]表示第i个物品的价值
for(j=1;j<=M;j++) //考虑背包容量的每一种情况
{
if(w[i]<=j) //容量j都比物品i重量少，放都放不进去我们就不要考虑啦。。。
{
if(dp[i-1][j]
for(i=1;i<=N;i++)
for(j=w[i];j<=M;j++) //也可以for(j = M; j >= w[i]; j--) 反向来也一样,下面模拟就用反向的for循环
{
if(dp[i-1][j]下面模拟过程：
例子：4个物品、背包上限6第一个：w[1]=1、va[1]=4
第二个：w[2]=2、va[2]=6
第三个：w[3]=3、va[3]=12
第四个：w[4]=2、va[4]=7
下面就是dp[i][j]数组的图表：并且初始化为0(这里并没有全部填写为0，实际上是全部填写为0啦)
此时（结合代码）是for循环的开始，第一个我们要填充的就是dp[1][6](图中黑色圈圈标记的格子)，也就是求：用第1个物品放入背包空间为6的最大值，按照上面的方程,这个最大值是从
dp[0][6]和dp[0][6-w[1]]+va[i]两个值中选出来:
那么选择之后便是：(最大值是dp[1][5]+4,也就是4)
接着继续填充下一个j=M之后的j--的格子，也就是dp[1][5]，依此填完这一列之后的结果：
之后就填写第二行的，并且注意，填写的格子的值由两根线指向中选择，但红色的那根线是 dp[2][6-w[2]]还要加上一个va[2]的值，然后和dp[1][6]比较，选择较大的值填入,那么这一行填完的结果便是:
这里也有一个地方要注意，我们有一个格子dp[2][1]没有填写，因为第二个for循环的结束条件就是j>=w[i]，解释为背包的容量大于等于 i 物品的重量才去放，不然你放都放不进就没有必要放啦。
那么等到最后，结果便是下面：
红色的就是没有填写过的，也就是初始化的值为0，只是在开始没有全部填写上0，最后，dp[4][6]的意思就是把4个物品都尝试放入背包上限为6kg的最大价值：即23.....那么01背包就是这么实现的。
--------------------------------------------------------------
小结：如果仔细看了上面的过程的话,那么多多少少应该有些理解过程了吧 ！那么总结一下，本次总结解决状态转移方程的含义，至于for循环的实现过程应该在模拟的过程都明白了吧
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+va[i]),用我们的那种 j 从M递减到 w[i]的方式，可以这样理解：最开始，背包里什么都没放，然后我们考虑背包容量为M到w[i]的情况（小于w[i]的意思就是背包装不下去，就没必要考虑），对于一个容量 为 j 的背包A，考虑第i 个物品，它当前有一个值dp[i][j]（最开始什么都没放都是0），然后我们就想 如果我们找一个容量为 j-w[i]的背包B装 第 i个物品，意思是装第 i件物品使得背包B容量为 j（可以这样看：那个背包B原来状态为dp[i-1][j-w[i]] ,现在放入i 物品，状态变为dp[i][ j ] ），那么，对于B，它现在的价值就是原来价值dp[i-1][j-w[i]]加上刚装进的 i 的价值 va[i]，那么现在就做一个选择，是A的价值多还是B的价值多，我们就选择价值多的更新A，如果B大就为B，因为我们可以找到一个背包B，使得达到相同的背包容量 j 的时候价值更大。
——-------------------------------------------------------------------------
三：那么，如果比较清楚上面的实现过程啦...就可以初步了解用一维数组(既滚动数组)
仔细理解上面的过程，不难发现，我们每填写一行的时候，都是根据上一行的两个格子俩确定的...那么可以想象：我们用二维数组是不是浪费空间了呢？
那么 先来看看一维的状态转移方程：dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+va[i]);表示：把第i个物品放入背包容量为j的背包的最大价值,
实现过程代码:
for(i=1;i<=N;i++)//注意这里只是对空间进行优化，而两个for循环是一定的
for(j=M;j>=w[i];j--) //循环顺序只能这样
if(dp[j]那么现在也来模拟一下
还是上面的例子：4个物品、背包上限6
第一个：w[1]=1、va[1]=4
第二个：w[2]=2、va[2]=6
第三个：w[3]=3、va[3]=12
第四个：w[4]=2、va[4]=7
当进行第一行填写的时候，如下
填完第一个后
之后的每次 就用 dp[j]和dp[j-w[i]]+va[i]比较，选择大的更新dp[j],这样就可以节省很大的空间，
那么，值得注意的便是，用一维数组，j 只能从M到w[i] 递减，为什么呢？每次比较都是用本身dp[j]，和前面的dp[j-w[i]]比较，并且值更新dp[j]的值， 那么，对于这一次的for循环，开始更新dp[j],随后j--，要填写和更新的dp[j]并没有受到刚刚的影响（这个容易懂吧......）但是一旦 j 像二维dp那样从1 到M递增，填写后面的数值很明显就被前面的影响啦
ps：最后给几个我最近做的01背包题目 首先最最简单的裸题：poj3624、然后有一个poj3628，还有一个hdu1864，还有一个poj3211，个人认为这几个题目的顺序就是难度上升的梯度