dp——poj2.6基本算法之动态规划【4978:宠物小精灵之收服】

一、题目描述

1、描述

• 宠物小精灵是一部讲述小智和他的搭档皮卡丘一起冒险的故事。
• 一天，小智和皮卡丘来到了小精灵狩猎场，里面有很多珍贵的野生宠物小精灵。小智也想收服其中的一些小精灵。然而，野生的小精灵并不那么容易被收服。对于每一个野生小精灵而言，小智可能需要使用很多个精灵球才能收服它，而在收服过程中，野生小精灵也会对皮卡丘造成一定的伤害（从而减少皮卡丘的体力）。当皮卡丘的体力小于等于0时，小智就必须结束狩猎（因为他需要给皮卡丘疗伤），而使得皮卡丘体力小于等于0的野生小精灵也不会被小智收服。当小智的精灵球用完时，狩猎也宣告结束。
• 我们假设小智遇到野生小精灵时有两个选择：收服它，或者离开它。如果小智选择了收服，那么一定会扔出能够收服该小精灵的精灵球，而皮卡丘也一定会受到相应的伤害；如果选择离开它，那么小智不会损失精灵球，皮卡丘也不会损失体力。
• 小智的目标有两个：主要目标是收服尽可能多的野生小精灵；如果可以收服的小精灵数量一样，小智希望皮卡丘受到的伤害越小（剩余体力越大），因为他们还要继续冒险。
• 现在已知小智的精灵球数量和皮卡丘的初始体力，已知每一个小精灵需要的用于收服的精灵球数目和它在被收服过程中会对皮卡丘造成的伤害数目。请问，小智该如何选择收服哪些小精灵以达到他的目标呢？

2、输入

• 输入数据的第一行包含三个整数：N(0 < N < 1000)，M(0 < M < 500)，K(0 < K < 100)，分别代表小智的精灵球数量、皮卡丘初始的体力值、野生小精灵的数量。
• 之后的K行，每一行代表一个野生小精灵，包括两个整数：收服该小精灵需要的精灵球的数量，以及收服过程中对皮卡丘造成的伤害。

3、输出

• 输出为一行，包含两个整数：C，R，分别表示最多收服C个小精灵，以及收服C个小精灵时皮卡丘的剩余体力值最多为R。

4、样例输入

10 100 5
7 10
2 40
2 50
1 20
4 20

5、样例输出

3 30

二、解题思路

这道题目一看就是最优子结构的问题，当然，也是类似于背包的一种动态规划，叫做多约束背包，这种背包有多个约束（当然，看上去和01背包很相似，都是一个物品只能选择要或者不要），如皮卡丘体力的约束、野生小精灵数量的约束、精灵蛋的约束。是所以这类背包是与01背包不同的。

1、数学建模

因为本道题目只有3个约束，所以，就要设置一个三维数组：

dp[i][j][k]代表前i个野生小精灵，假如皮卡丘有j的体力值，小智有k个精灵蛋时最多能获得的精灵数量。

因为这道题目还要求如果可以收服的小精灵数量一样，小智希望皮卡丘受到的伤害越小（剩余体力越大），所以还要设置另一个数组来记录皮卡丘最多的体力值。

f[i][j][k]代表前i个野生小精灵，假如皮卡丘有j的体力值，小智有k个精灵蛋时最多剩余的体力值。

2、状态转移方程

按照01背包的思路来写状态转移方程，也并不难。

dp[i][j][k]=max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-w[i]][k-t[i]]+1);
if(dp[i-1][j][k]>=dp[i-1][j-w[i]][k-t[i]]+1) f[i][j][k]=j;
else f[i][j][k]=j-w[i];

原因

第一个数组，是为了比较选择还是放弃来决策出最优解的，如果不选就是：dp[i-1][j][k]；如果选择，那么皮卡丘的体力值和小智的精灵蛋就要减少，但是精灵的数量就会加1，所以此状态就是：dp[i-1][j-w[i]][k-t[i]]+1，去两者之间的较大者，就是可以获得的最多的精灵数量。
第二个数组，如果选择不收服精灵较优，那么皮卡丘的体力就不会减少，即：f[i][j][k]=j，否则，那还是要收服这个精灵的所以皮卡丘的体力时就会相对应的减少，即：f[i][j][k]=j-w[i]。

3、边界（初始化）

第一个数组：
因为如果精灵的数量为0或者皮卡丘的体力值是0或者是小智的精灵蛋的数量是0，那么，就只能收服0只野生精灵，即：

若i=0或者j=0或者k=0，那么dp[i][j][k]=0;

第二个数组：
因为如果皮卡丘的体力值不为0，那么最大的体力值也不为0，即：

若体力值不为0，那么就等于其体力值（i=0或者k=0）
f[i][j][k]=j;
否则
f[i][j][k]=0;

4、时间复杂度

因为要考虑到三的约束条件（三个变量），所以找到提的时间复杂度是：O(NMK)
因为：N(0 < N < 1000)，M(0 < M < 500)，K(0 < K < 100)，所以总时间复杂度是：1000500100=50000000（五千万），不会超时。

三、代码

#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1e3+5;
int dp[1005][505];
int a[maxn], b[maxn];
int main()
{
    int n, m, k;
    cin>>n>>m>>k;
    for (int i = 1 ; i <= k ; i ++) 
        cin >> a[i] >> b[i];
    for (int t = 1 ; t <= k ; t ++) 
        for (int i = n ; i >= a[t] ; i --) 
            for (int j = m ; j >= b[t] ; j --) 
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-a[t]][j-b[t]] + 1);
	int ans1 = 0, ans2 = m;
	for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) 
        if (dp[n][i] > ans1) 
		{
            ans1 = dp[n][i];
            ans2 = m - i;
        }
    cout << ans1 << ' ' << ans2 << endl;
    return 0;
}