【ACM摸鱼】宝藏之争 --经典博弈（威佐夫） -- 找规律

欢迎访问

本博客源自学长前辈的教解，并参考网络资源。如有侵权请联系[email protected]，如有错误劳驾指出。问题精深仅一知半解望海涵。

---

经典博弈论

详解

巴什博弈（Bash Game）、尼姆博奕（Nim Game）、威佐夫博奕（Wythoff Game）

定义P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。
直观的说，上一次move的人有必胜策略的局面是P-position，也就是“后手可保证必胜”或者“先手必败”
现在轮到move的人有必胜策略的局面是N-position，也就是“先手可保证必胜”。
更严谨的定义是：
1.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；
2.可以移动到P-position的局面是N-position；
3.所有移动都导致N-position的局面是P-position；我们在下文中称之为必胜点和必败点。

1、巴什博弈（Bash Game）

 问题模型：
	只有一堆n个物品，
	两个人轮流从这堆物品中取物，
	规定每次至少取一个，最多取m个，最后取光者得胜。

分析：
1、当n<=m时，一次就可以取光，是先手必胜。
2、当n>=m+1 时，由于，所以无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，先手必败
3、当n>=m+2&&n<=m+m时，先手可以取1~(m-1)个，使得后手必败 （后手面对m+1 局面）。此时先手必胜

由上可知，面对m+1局面时必输，所以当前的最优策略是使得自己的后手面临m+1局面，推广得：

4、当局势是n%(m+1)==0时，其面临的是必败的局势。（由2 推得）
5、当n==k*(m+1)+s,（k为任意自然数，r≤m)时,先手拿走s个物品，假设后手拿走x（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-x个，后手依然会面对(m+1)(r-1)个，维持局面则先手必胜。
···· 同理当s=0，后手总是使先手面对(m+1)(r-1)局面， 结果是先手必败。

2、尼姆博奕（Nim Game）

3、威佐夫博奕（Wythoff Game）

初见

Problem H: 宝藏之争
Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 134 Solved: 33
###Description
Xiao Ren和Lao Wang在一个棋盘式的迷宫里坐标为(a,b)位置发现了一笔宝藏，向上为a正方向，向右为b正方向。两个人都想独吞财富，本着正人君子的原则，他们决定公平竞争，游戏规则是这样的：Xiao Ren和Lao Wang两人轮流移到宝藏，谁先把宝藏移到出口位置，宝藏就归谁所有。迷宫的出口位置为左下角（0,0），每次移到可以往左方向，下方向，左下方向三个方向移到，每个人每次只能选择一个方向，但是移动的步数没有限制，Xiao Ren最先开始移到。问谁可以得到宝藏
###Input
输入两个整数a,b表示宝藏起始的位置（0<=a<=10000,0<=b<=10000）
###Output
谁获得宝藏，Xiao Ren得到宝藏输出"Xiao Ren"，Lao Wang获得宝藏输出"Lao Wang"
###Sample Input
1 2
3 5
1 1
3 2
###Sample Output
Lao Wang
Lao Wang
Xiao Ren
Xiao Ren

一看就知道这是个博弈¹：回合制，足够聪明，求胜负。但是相较普通的博弈有一些提升：有三个移动的方向，而且移动的步数是若干步，在‘学姐’的启发下了解到SG函数可以有效解决博弈问题, 很多都是以取石子为例¹。
所以感觉这个题也可以抽象为石子游戏：三堆石子（代表三个方向），可以从任意一堆 取若干石子 或者 同时从两堆取相同数量的石子 。于是这个题就成了经典的威佐夫博奕（Wythoff Game）；

AC

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

int main()
{

    int n, m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        int a=min(n,m);
        int b=max(n,m);
        double k=(double)b-a;
        int kk=(int)(k*(1+sqrt(5))/2);
        if(kk==a)
            printf("Lao Wang\n");
        else
            printf("Xiao Ren\n");
    }
    return 0;
}

HDU1527,和本题目都是典型的威佐夫博弈，，以本题为例：
可以看做是两堆石子

方向	石子堆
向下	移动n格 则看做 从a堆取n个石子
:向左	移动n格 则看做 从b堆取n个石子
向左下	移动n格 则看做 从a和b都取n个石子

小任赢 为 N ，老王赢为P
以p为中心 p的←→↑↓↙↗ 的延伸线上全是N
p的分布 是 以 x=y 呈 轴对称的， 即（1，2）是P 则（2，1）也是P ，所以先找x a[],b[] 表示 横纵坐标
这是 一部分的 p点坐标（0,0,）、（1,2）、（3,5）、（4,7）、（6,10）······起始值a[0]=b[0]=0;k=0;

性质：
1.任何自然数都包含在一个且仅有一个的奇异局势中。
证明：若(a[k],b[k])为一个奇异局势，因为b[k]=a[k]+k，a[k]>a[k-1] =》 b[k] >a[k-1]+k >a[k-1]+k-1 =》 b[k-1] > a[k-1].
2.任何操作都会将奇异局势变成非奇异局势
由性质1可知，即使是同时减少，两个数的差值不变，所以不可能成为其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势；
3.可采用适当的方法将非奇异局势变为奇异局势，那么下一个必输；
、
、
、
详解看这里的

---

1. 以石子为例的 NIM游戏 ：有若干堆石子，每堆石子的数量ai都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。 ↩︎ ↩︎