最大子矩阵和 - dp（详解）

1282：最大子矩阵

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【题目描述】

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 × 1)子矩阵。

比如，如下4 × 4的矩阵

0  -2 -7  0
9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2

的最大子矩阵是

 9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

【输入】

输入是一个N×N

的矩阵。输入的第一行给出N(0<N≤100)。再后面的若干行中，依次(首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……)给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[−127,127]。

【输出】

输出最大子矩阵的大小。

【输入样例】

4
0 -2 -7  0
9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2

【输出样例】

15

思路：

我们都知道在一维情况下求最大连续子序列和的操作：

for(int i=1;i<=n;i++){
    dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i]);
}

那么该怎么推广到二维情况下呢：（比如样例）

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

步骤：

（1）求矩阵大小是1*k（k=1,2,3,4）

可以发现就是求每行的最大连续子序和

0 -2 -7 0  （ans=0,矩阵为[0]）

9 2 -6 2  （ans=11,矩阵为[9 2]）

……

（2）求矩阵大小是2*k（k=1,2,3,4）

这时我们可以在第1,2行或2,3行或3,4行找最大矩阵

对于矩阵：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

来说，最大矩阵是

因为我们取的是矩阵，肯定是竖着一列都取的，不可能这一列取到第i个元素，上一列取到第i-1个元素，这样我们就可以把要求的两行，两两加起来

9 0 -13 2

这样求出的最大连续子序和是9，这个结果也就是这个矩阵对应的最大矩阵和。

同理把

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

和

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

也分别加起来，三种情况下求出的最大值，就是2*k大小矩阵的最大值

（3）同理，我们求3*k，4*k

代码如下：

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