NOIP普及组蒟蒻挣扎之模拟赛C组 第四题 ——约数国の王♂

转自jzoj & c渣渣党福利

题目描述

数学的王国里，有一些约数国王……约数国王的定义是这样的：一个大于1的整数n，如果它约数的个数比1~n-1的每个整数的约数的个数都要多，那么我们就称它为约数国王。聪明的（______）在奥数书上认识了它们，于是产生了一个问题:他想知道L到R之间一共有多少个约数国王？它们分别又是谁？

输入

输入文件只有一行，包含一个l，一个r，表示小明想知道的范围。

输出

只有一行，第一个数h，表示l~r内一共有多少个约数国王，接下来h个从小到大的数(为了防止国王们打架，你需要按顺序输出。)，表示约数国王分别是谁。

样例输入

1 100

样例输出

8 2 4 6 12 24 36 48 60

数据范围限制

对于30%的数据，1<=l<=r<=200000。
对于50%的数据，1<=l<=r<=500000。
对于70%的数据，保证最大的约数国王的约数的个数不大于1000。
对于100%的数据，1<=l<=r, 并且保证l，r在64位整型以内，最大的约数国王的约数的个数不大于200000。

题解 & 思路

首先很肯定的 是暴力：

#include
using namespace std;
int biao[10][10] = {{0,0},{0,1},{0,2,4,8,6},{0,3,9,7,1},{0,4,6},{5,5},{6,6},{0,7,9,3,1},{0,8,4,2,6},{0,9,1}};
//手动打表模拟各位次方
int len[10] = {1,1,4,4,2,1,1,4,4,2};
int t,ans,n,a,b;
int main()
{
	//freopen("superpow.in","r",stdin);
	//freopen("superpow.out","w",stdout);
	scanf("%d",&t);
	while (t--)
	{
		ans = 1;
		scanf("%d",&n);
		for (int i = 1;i <= n;i++)
		{
			scanf("%d%d",&a,&b);
			int x = a;
			while (--b)
			{
				if (x == len[a]) x = biao[a][x];
				else x = biao[a][x % len[a]];
			}
			ans *= x;
			ans %= 10;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

所以说 这是一个U秀的方法

正解在此

首先我们可以知道任意一个整数都可以理解为多个素数的乘积(咀嚼一下)
辣么，我们可以得到如下公式

$$x=A_1^{P_1}\ast A_2^{P_2}\ast A_3^{P_3}\ast \dots \dots A_k^{P_k}$$

也就是说我们只要求这个，就是$x$的约数个数：（全排列问题嘛，$p[i]$种情况还有$k$它本身）

$$\prod \frac{k}{i=1}(P_i+1)$$

然后显而易见，我们就能看出 一个很简单的式子

$$F[i]=min(f[k][i]|0<k\le \infty )$$

申明一个F[ ]数组，这个数组用于储存$i$个质因子的数中最小是谁，然后我们可知这样的数组是一定存在且可被求出的。
此时提到了一个$f$数组，又是用来干嘛呢？
其实这个数组是用来储存选择了$k$个前质因数（如果不是前几个不一定最大，有想法可以自己证明），有i个约数的数的

巴拉拉魔法能量，敲黑板

$$f[k+1][i+1]=min(f[k][i]\ast prime[k+1{]}^j|0<j\le \infty )$$

此处的$prime[i]$是第i个素数(抱歉，要自己打，想用现成的函数门都没得）——筛吧筛吧我的骄傲放纵

int isPrime(int n)//julao倾情贡献尊享暴力筛代码
{	
	float n_sqrt;
	if(n <= 3) return 1;
	if(n%6!=1 && n%6!=5) return 0;//julao菠萝蜜之优化
	n_sqrt=floor(sqrt((float)n));
	for(int i=5;i<=n_sqrt;i+=6) if(n%(i)==0 || n%(i+2)==0) return 0;
    return 1;
} 

有了蜜汁筛的强力加持，我们的程序便呼之欲出了——

呵呵，依然不是程序：