Codeforces 1307D - Cow and Fields【最短路+思维转换】

题目:

  给出一个 n n n 个点, m m m 条边的无向连通图,其中有 k k k 个特殊的点。选择连接这 k k k 个点中的两个,使得从 1 1 1 号点到 n n n 号的最短距离最大化,并求出该最短距离。

思路:

  先考虑暴力的做法,用两次 b f s bfs bfs 求出 1 1 1 号点和 n n n 号点到各个点的距离,分别用 x [ i ] x[i] x[i] y [ i ] y[i] y[i] 表示。然后暴力枚举这 k k k 个点中的两个点连接,求出最短路的最大值,和原最短距离比较。
复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
  优化:假设选择 a a a b b b 点,那么此时的答案为 m i n ( x [ a ] + y [ b ] + 1 , x [ b ] + y [ a ] + 1 ) min(x[a]+y[b]+1,x[b]+y[a]+1) min(x[a]+y[b]+1,x[b]+y[a]+1)。假设有 x [ a ] + y [ b ] + 1 ≤ x [ b ] + y [ a ] + 1 x[a]+y[b]+1\leq x[b]+y[a]+1 x[a]+y[b]+1x[b]+y[a]+1,对其进行移项化简,有: x [ a ] − y [ a ] ≤ x [ b ] − y [ b ] x[a]-y[a] \leq x[b]-y[b] x[a]y[a]x[b]y[b] 成立。因此,可以把这k个点的x[i]-y[i]进行排序,然后进行遍历。对当前遍历节点而言,其前面的所有节点和此节点均满足上述不等式的关系。即说明,此节点和前面的节点之间连边均可形成最短路。那么,要做的只是维护前缀的最大 x [ i ] x[i] x[i],以此来维护增边后的最短路的最大值即可。最后,和原最短路值比较,较小值即为答案。
复杂度: O ( n l o g n + m ) O(nlogn+m) O(nlogn+m)

代码:
#include 
using namespace std;
const int N=2e5+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef pair<int,int> P;
P d[N];
int a[N],x[N],y[N];
vector<int>pic[N];
queue<int>que;
int n;
bool vis[N];
void bfs(int s,int dis[])
{
    while(!que.empty())
        que.pop();
    fill(dis,dis+1+n,inf);
    fill(vis,vis+1+n,false);
    que.push(s);
    vis[s]=1;
    dis[s]=0;
    while(!que.empty())
    {
        int now=que.front();
        que.pop();
        for(int i=0;i<pic[now].size();i++)
        {
            int t=pic[now][i];
            if(!vis[t])
            {
                vis[t]=1;
                dis[t]=dis[now]+1;
                que.push(t);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int m,k,u,v;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        pic[u].push_back(v);
        pic[v].push_back(u);
    }
    bfs(1,x);
    bfs(n,y);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        d[i].first=x[a[i]]-y[a[i]];
        d[i].second=a[i];
    }
    sort(d+1,d+1+k);
    int maxn=-inf,ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int t=d[i].second;
        ans=max(ans,maxn+y[t]);
        maxn=max(maxn,x[t]);
    }
    printf("%d\n",min(ans+1,x[n]));
    return 0;
}

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