python光学仿真之菲涅耳公式

从物理学的机制出发，波动模型相对于光线模型，显然更加接近光的本质；但是从物理学的发展来说，波动光学旨在解决几何光学无法解决的问题，可谓光线模型的一种升级。从编程的角度来说，波动光学在某些情况下可以简单地理解为在光线模型的基础上，引入一个相位项。

波动模型

一般来说，三个特征可以确定空间中的波场：频率、振幅和相位，故光波场可表示为：

$$E=Acos(\omega t-kr)$$

其中，$A$为振幅，$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$为角频率，$k=\frac{2\pi }{\lambda }$，为波数。由上式可知，当时间固定时，光在传播方向上有一个正弦波的外形；而对于空间中任意一点，沿着振幅方向也呈正弦波的规律上下振动。

其中，振幅、波数以及空间位置均为矢量，当坐标比较混乱的时候，也可以写成$E=Acos(\omega t-kr)$；有时为了计算方便，也可以写成指数形式

$$E=A{e}^{-i(\omega t-kr)}$$

对于平面波来说，其发散角为0，即光场中的所有点，都具有统一的传播方向，且振幅相等。设其传播方向为$z$，则可写为

$$E=Acos(\omega t-kz)$$

球面波则相对复杂，令$r$为空间中任意一点到点光源的距离，则对于$a、b$两点来说，其单位面积的光通量之比为$\frac{I_a}{I_b}=\frac{r_b^2}{r_a^2}$，则振幅之比为$\frac{E_b}{E_a}=\frac{r_a}{r_b}$。这说明球面波振幅反比于波阵面到光源距离，即

$$E=\frac{A}{r}{e}^{-i(\omega t-kr)}$$

通过截取$xOz$平面，假设光波长为532nm,则可以画出这一截面处的光波振幅图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
z = np.arange(15,200)*10    #单位为nm
x = np.arange(15,200)*10
x,z = np.meshgrid(x,z)      #创建坐标系
E = 1/np.sqrt(x**2+z**2)*np.cos(2*np.pi*np.sqrt(x**2+z**2)/(532*1e-9))
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot_surface(x,z,E)
plt.show()

其结果如图所示

菲涅耳公式

几何光学可以通过费马原理得到折射定律，但是无法获知光波的透过率，菲涅耳公式在几何光学的基础上，解决了这个问题。

由于光是一群横波的集合，故可以根据其电矢量的震动方向，将其分为平行入射面与垂直入射面的两个分量，分别用$p$分量和$s$分量来表示。一束光在两介质交界处发生折射，两介质折射率分别为$n_1$和$n_2$，对于$p$光来说，其电矢量平行于入射面，其磁矢量则垂直于入射面，即只有$s$分量；而对于$s$光来说，则恰恰相反，如图所示。

则对于$p$光来说即
$$\{\begin{array}{rl}{E}_p& =E_{p0}{e}^{i(k(\hat{n}\cdot r)-\omega t)}\\ B_s& =B_{s0}{e}^{i(k(\hat{n}\cdot r)-\omega t)}\end{array}$$

在$n_1$、$n_2$平面内，其波数分别为$k_1=2\pi n_1/\lambda$,$k_1=2\pi n_2/\lambda$，则入射波、反射波和透射波分别可以写为
$$\{\begin{array}{rl}{E}_i& =E_{i0}{e}^{i[k_1(sin{\theta }_{i}x-cos{\theta }_{i}y)-\omega t]}\\ E_r& =E_{r0}{e}^{i[k_1(sin{\theta }_{r}x+cos{\theta }_{r}y)-\omega t]}\\ E_t& =E_{t0}{e}^{i[k_2(sin{\theta }_{t}x-cos{\theta }_{t}y)-\omega t]}\end{array}$$

其角度关系为
$${\theta }_i={\theta }_r$$

$$n_{1}sin{\theta }_i=n_{2}sin{\theta }_t$$

则波数之间的关系为
$$k_{1}sin{\theta }_i=k_{1}sin{\theta }_r=k_{2}sin{\theta }_t$$

又因在界面上，反射波和透射波在x轴上的投影必然等于入射波，故对于电矢量而言，有
$$cos{\theta }_i{E}_{i0}=cos{\theta }_r{E}_{r0}+cos{\theta }_t{E}_{t0}$$

对于磁矢量而言，有
$$n_1{B}_{i0}+n_{1}Br0=n_2{B}_{t0}\to n_1{E}_{i0}+n_{1}Er0=n_2{E}_{t0}$$

令振幅反射系数和透射系数分别为$$r_p=\frac{E_{r0}}{E_{i0}},t_p=\frac{E_{t0}}{E_{i0}}$$

则有
$$\{\begin{array}{rl}cos{\theta }_r{r}_p+cos{\theta }_t{t}_p& =cos{\theta }_i\\ n_1{r}_p-n_2{t}_p& =-n_1\end{array}$$

s光的计算方法与之类似，最后得到
$$\{\begin{array}{rl}{r}_p& =\frac{n_{2}cos{\theta }_i-n_1\sqrt{1-(n_1/n_2{)}^{2}si{n}^2{\theta }_i}}{n_{2}cos{\theta }_i+n_1\sqrt{1-(n_1/n_2{)}^{2}si{n}^2{\theta }_i}}\\ t_p& =\frac{2n_{1}cos{\theta }_i}{n_{2}cos{\theta }_i+n_1\sqrt{1-(n_1/n_2{)}^{2}si{n}^2{\theta }_i}}\\ r_s& =\frac{n_{1}cos{\theta }_i-n_2\sqrt{1-(n_1/n_2{)}^{2}si{n}^2{\theta }_i}}{n_{1}cos{\theta }_i+n_2\sqrt{1-(n_1/n_2{)}^{2}si{n}^2{\theta }_i}}\\ t_s& =\frac{2n_{1}cos{\theta }_i}{n_{1}cos{\theta }_i+n_2\sqrt{1-(n_1/n_2{)}^{2}si{n}^2{\theta }_i}}\end{array}$$

我们可以通过python绘制出当入射光的角度不同时，其振幅反射率和透过率的变化

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def fresnel(theta, n1, n2):
    theta = theta*np.pi/180
    xTheta = np.cos(theta)
    mid = np.sqrt(1-(n1/n2*np.sin(theta))**2)          #中间变量
    rp = (n2*xTheta-n1*mid)/(n2*xTheta+n1*mid)  #p分量振幅反射率
    rs = (n1*xTheta-n2*mid)/(n1*xTheta+n2*mid)
    tp = 2*n1*xTheta/(n2*xTheta+n1*mid)
    ts = 2*n1*xTheta/(n1*xTheta+n2*mid)
    return rp, rs, tp, ts

def testFres(n1=1,n2=1.45):         #默认n2为1.45
    theta = np.arange(0,90,0.1)+0j
    a = theta*np.pi/180
    rp,rs,tp,ts = fresnel(theta,n1,n2)

    fig = plt.figure(1)
    plt.subplot(1,2,1)
    plt.plot(theta,rp,'-',label='rp')
    plt.plot(theta,rs,'-.',label='rs')
    plt.plot(theta,np.abs(rp),'--',label='|rp|')
    plt.plot(theta,np.abs(rs),':',label='|rs|')
    plt.legend()

    plt.subplot(1,2,2)
    plt.plot(theta,tp,'-',label='tp')
    plt.plot(theta,ts,'-.',label='ts')
    plt.plot(theta,np.abs(tp),'--',label='|tp|')
    plt.plot(theta,np.abs(ts),':',label='|ts|')
    plt.legend()
    plt.show()

if __init__=="__main__":
    testFres()

得到其图像为

由于强度与振幅之间存在一个平方的关系，所以强度反射率和透过率为$|r{|}^2$、$\frac{n_2}{n_1}|t{|}^2$。而能流与强度之间还需要除以一个横截面积，故能流反射率和透过率分别为：
$$\{\begin{array}{rl}R& =|r{|}^2\\ T& =\frac{n_{2}cos{\theta }_t}{n_{1}cos{\theta }_i|t{|}^2}\end{array}$$

通过python进行绘图，将上面程序中的testFres改为以下代码即可。

def testFres(n1=1,n2=1.45):
    theta = np.arange(0,90,0.1)+0j
    a = theta*np.pi/180
    rp,rs,tp,ts = fml.fresnel(theta,n1,n2)

    Rp = np.abs(rp)**2
    Rs = np.abs(rs)**2
    Rn = (Rp+Rs)/2

    Tp = n2*np.sqrt(1-(n1/n2*np.sin(a))**2)/(n1*np.cos(a))*np.abs(tp)**2
    Ts = n2*np.sqrt(1-(n1/n2*np.sin(a))**2)/(n1*np.cos(a))*np.abs(ts)**2
    Tn = (Tp+Ts)/2

    fig = plt.figure(2)
    plt.subplot(1,2,1)
    plt.plot(theta,Rp,'-',label='R_p')
    plt.plot(theta,Rs,'-.',label='R_s')
    plt.plot(theta,Rn,'-',label='R_n')
    plt.legend()

    plt.subplot(1,2,2)
    plt.plot(theta,Tp,'-',label='T_p')
    plt.plot(theta,Ts,'-.',label='T_s')
    plt.plot(theta,Tn,'--',label='T_n')
    plt.legend()

    plt.show()

得