浮点数在内存中的存储

1、IEEE浮点标准

根据IEEE的标准，任意一个浮点数V可以用下面的公式来表示：

V = (-1)^s * 2^e * M

• s – 符号，决定是正数还是负数
• E – 阶码，对浮点数的加权，权重是2的E次幂（可能是负数）
• M – 尾数，一个二进制小数，它的范围是0至1，或者1到2（后面进行说明）

将浮点数的位划分为三个段，分别对应上述公式中的3个变量。

• s位一个单独的符号位
• k位的阶码字段 exp，用来编码E
• n位小数字段 frac，用来编码M，但编码出来的值也依赖阶码字段是否等于0

从上图可知：

单精度浮点：
1位符号位，8位阶码以，23位尾数

双精度浮点：
1位符号位，11位阶码，52位尾数

如果给定了位 s 的表示，根据 exp 的值，被编码的值可以分为三种不同的情况（最后一种情况有两个变种）。下图是单精度的情况：

三种不同的情况下阶码E和尾数M的计算方法不同，下面就对着三种情况进行整理。

2、规格化

是否是规则化，主要根据 exp的值来定。

规则化时：exp 的位既不全为0（数值0），也不全为1（单精度位255，双精度位2047），这是最普遍的情况。

在这种情况下，阶码字段被解释为以 “偏置” 形式表示的有符号正数。“偏置”的意思就是在原有的值基础上加上一个偏移量，对于阶码位数为k的情况来说，偏移量 Bias = 2^k-1-1。假设e是阶码二进制表示的无符号数值，那么真实的价码 E = e - Bias。

对于单精度来说，阶码位数为8，则Bias = 2^8-1-1 = 127，对于多精度来说，阶码位数为11，则Bias = 2^11-1-1 = 1023。

小数段位frac被解释为描述小数值f，其二进制表示为 0.fn-1…f1f0，也就是二进制小数点在最高有效位的左边。尾数M = 1 + f，M可以看成一个二进制表达式为 1.fn-1…f1f0 的数字，1是固定的，所以可以隐藏掉。

示例：
二进制 0 10000010 01000111010111000010100 表示的十进制。

符号s 为0，表示正数
阶码 E = 130 -127 = 3
尾数 M = 1.01000111010111000010100
浮点数 V = (-1)^s * 2^e * M = +1.01000111010111000010100 * 2³ = 1010.001110101110000101

整数部分：1010 的十进制为 10。
小数部分：0. 001110101110000101的十进制为1*2^(-3)+1*2^(-4)+ 1*2^(-5) + 1*2^(-7)+ 1*2^(-9)+ 1*2^(-10)+ 1*2^(-11)+ 1*2^(-16) +1*2^(-18)=0.23

所以0 10000010 01000111010111000010100 表示的浮点数为 10.23。

3、非规格化

当阶码 位exp 全为0 时，所表示的数是非规格化的。此时，阶码值 E = 1 - Bias，为尾数 M = f = 0.fn-1…f1f0 。

非规则化有两个用途:

1. 提供了表示数值0 的方法，规则化的 M总是大于等于1的
2. 表示那些非常接近于 0.0的数

4、特殊值

当阶码 位exp 全为1 时，所表示的数是特殊值的。这里又分了两种情况

• 当frac位全为0时，表示正负无穷，根据s来定。
• 当frac位不全为0时，表示这个数不是一个有效值（NaN）

浮点数的知识就整理到这里了。

感谢大家，我是假装很努力的YoungYangD（小羊）。

参考资料：
《深入理解计算机系统》
https://www.jianshu.com/p/f0537a661a5e
https://zhuanlan.zhihu.com/p/43804632