[BJOI2020] 主音识别

咕咕咕的北京省选题

description

给定参数$k$,一个大小为$m$的集合$\{b_1,b_2,b_3...b_m\}$，一个长度为$n$的数列$\{a_i\}$

定义$f(x,a_i)=[a_i\equiv x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)]+[\exists 1\le j\le m,a_i\equiv x+b_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)]$

通俗来讲：
若 $x$ 与 $a_i$ 模 $k$ 同余，则$f(x,a_i)$为 $2$；
否则，若 $B$ 中存在一个元素 $b_j$ ，使得 $x+b_j$ 与 $a_i$ 模 $k$ 同余，则$f(x,a_i)$为 $1$；
否则，$f(x,a_i)$为 0。

定义$g(x)={\sum }_{i=1}^{n}f(x,a_i)$

求在$[0,k)$上使得$g(x)$取得最小值的$x$，如有多解输出多个

$1\le m\le k\le 1.2\times 10^5,1\le n\le 1.2\times 10^5,0=b_1<b_2<b_3\cdots <b_m<k,0\le a_i\le 1.2\times 10^5$

solution

首先可以想到$70$分的暴力做法

对于每个$a_i$模上$k$，开一个桶去维护

枚举$x$，$O(m)$计算答案为$cnt[i]+{\sum }_{j=1}^{m}cnt[b_j+i]$

复杂度$O(km)$

考虑优化，枚举的复杂度基本无法优化，考虑计算答案的优化

观察式子

$$\begin{array}{rl}{a}_i& \equiv x+b_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)\\ a_i-b_j+k& \equiv x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)\end{array}$$

我们考虑建立两个多项式$A(x),B(x)$

其中

$$\begin{gathered} A(x)=\sum _{i=0}^{k-1}cnt{a}_i{x}^i \\ B(x)=2+\sum _{i=1}^{k-1}cnt{b}_{k-i}{x}^i \end{gathered}$$

那么当我们枚举到$x$的时候，其实就是$A(x),B(x)$的卷积的$x$次项系数和$x+k$次项系数之和

注意忽略掉$b_1=0$的情况，要不然会出问题

利用$\text{FFT}$优化即可

复杂度$O(k\log k)$

#include 
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)

typedef long long ll;

const int N=1e6+5;
const double pi=acos(-1.0);

template<typename T> void read(T &x){
   x=0;int f=1;
   char c=getchar();
   for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
   for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    x*=f;
}

int k,m,n;
int A[N],B[N],C[N];
int pos[N];
int cnt[N];
int ans,out[N];

struct cp{
	double real,imag;
	cp(double a=0.0,double b=0.0){real=a,imag=b;}	
}a[N],b[N],c[N];

cp operator + (cp a,cp b){return cp(a.real+b.real,a.imag+b.imag);}
cp operator - (cp a,cp b){return cp(a.real-b.real,a.imag-b.imag);}
cp operator * (cp a,cp b){return cp(a.real*b.real-a.imag*b.imag,a.real*b.imag+a.imag*b.real);}

void fft(int limit,cp *a,int opt){
	for(int i=0;i<limit;i++)c[i]=a[pos[i]];
	for(int i=0;i<limit;i++)a[i]=c[i];
	for(int i=1;i<limit;i<<=1){
		int len=i<<1;
		for(int j=0;j<limit;j+=len){
			cp z0(cos(pi/i),opt*sin(pi/i)),z(1.0,0.0);
			for(int k=0;k<i;k++,z=z*z0){
				cp x=a[j+k],y=z*a[j+k+i];
				c[j+k]=x+y;
				c[j+k+i]=x-y;	
			}
		}
		for(int j=0;j<limit;j++)a[j]=c[j];
	}
}

int main()
{
	freopen("tonic.in","r",stdin);
	freopen("tonic.out","w",stdout);
	read(k),read(m),read(n);
	Rep(i,1,m)read(B[i]),b[k-B[i]].real++;
	Rep(i,1,n)read(A[i]),A[i]%=k,a[A[i]].real++;
	b[0].real=2,b[k].real=0;
	int limit=1;
	while(limit<=2*k)limit<<=1;
	for(int i=1;i<limit;i<<=1)for(int j=0;j<i;j++)pos[i+j]=pos[j]+limit/i/2;
	fft(limit,a,1),fft(limit,b,1);
	for(int i=0;i<limit;i++)a[i]=a[i]*b[i];
	fft(limit,a,-1);
	for(int i=0;i<limit;i++)C[i]=(int)(a[i].real/limit+0.5);
	for(int i=0;i<k;i++){
		int tot=C[i]+C[i+k];
		if(tot>ans){
			ans=tot;
			out[0]=0;
			out[++out[0]]=i;
		}
		else if(tot==ans)out[++out[0]]=i;
	}
	printf("%d\n",out[0]);
	Rep(i,1,out[0])printf("%d ",out[i]);
	puts("");
	return 0;
}
/*
12 7 8
0 2 4 5 7 9 11
1 3 5 6 8 10 12 1
*/