斜率优化dp 学习笔记

从一个问题开始
真正理解斜率优化dp
orz ISA

1 问题

Apio 2010 特别行动队

1.1 题意简述

给出一个序列 x1,x2...xn ，将其划分成若干个连续的区间，每一段区间 [l,r] 的价值为 ax2+bx+c ，其中 x=∑i=lrxi
现在你需要最大化序列的价值

1.2 数据范围

对于 20% 的数据， n≤1000
对于 100% 的数据， 1≤n≤106 ， −5≤a≤−1 ， |b|≤107 ， |c|≤107 ， 1≤xi≤100

1.3 讨论

1.3.1 20pts

令 f(i) 表示将序列的前i个划分若干段的最大价值， si 表示序列的前缀和
直接根据题意，可以列出状态转移方程
f(i)=max{f(j)+a∗(si−sj)2+b∗(si−sj)+c}，1≤j<i
然后直接dp就可以了
时间复杂度 O(n2)

1.3.2 100pts

数据范围只能允许一个 O(n) 级别的算法

将转移方程进一步展开，能得到
f(i)=max{f(j)+as2i−2asisj+as2j+bsi−bsj+c}，1≤j<i
将其顺序调整，写成下面的形式
f(i)=max{−2asjsi+f(j)+as2j−bsj+as2i+bsi+c}，1≤j<i
观察这个式子

首先，最后三项，只和 a,b,c 以及 si 有关。换句话说，在求 f(i) 的值时，这三项是与 j 的选取无关的，我们称之为常数项
对于常数项，可以直接将其拿到max之外
f(i)=max{−2asjsi+f(j)+as2j−bsj}+as2i+bsi+c，1≤j<i

然后再观察前面4项，可以发现 si 是与 j 的选取无关的，只与 si 的选取有关；而其余都只与 j 的选取有关，而与 i 的选取无关
si 有什么性质？
si 为正项序列的前缀和，显然它一定是对于 1...n 单调递增的
在求解 f(i) 的过程中，我们也一定是按照 1...n 的顺序求，也就是说，在求解 f(i) 的过程中 si 单调递增

我们考虑将前四项抽象成一条直线
令 y=kx+b
其中 k=−2asj ， b=f(j)+as2j−bsj
也就是说，对于每一个 j(1≤j≤n) ，都有一条确定的直线
那么在求解 f(i) 的时候，对于之前的一个确定的 j ，将 si 带入解析式就能求出这个 j 所对应的函数值
如果枚举每一个 j ，求出相应的函数值来更新 f(i) 的话，实际上就是 O(n2) dp的方法了
但是我们现在不能枚举，需要直接求出，也就是说，需要确定一条能取到最优值的直线

所以说，什么是斜率优化dp？
对于每一个 i(1≤i≤n) ，将 i 抽象成一条直线
求 f(i) 时，求之前的所有直线在自变量为某一个数时的最优值
根据直线的斜率和自变量的增减关系，维护出一个 O(n) 的算法
明白了这个之后，就已经基本上明白了斜率优化的大体过程

1.4 题解

对于这道题来说
由于 −5≤a≤−1 ，可以得出 k>0 ，即所有直线的斜率为正
由于 si 单增，求 f(i) 的过程中，顺次加入直线，直线的斜率也始终单增
维护一个斜率单增的单调双端队列，两个指针l,r

每一次加入一条直线 yi 之前，判断队首的两条直线 yl 和 yl+1 在 si 处的函数值，如果 yl≤yl+1 ，说明直线 yl 已不是最优值，并且以后也不可能成为最优值，将其出队
计算 f(i) ，此时最优的直线即为队首的直线 yl
加入直线 yi ，如果 yi 与 yr−1 已经将 yr 完全覆盖，那么将 yr 弹出

举个栗子

在求解 f(3) 的时候，需要查看 f(1) 和 f(2) 所表示的两条直线在 s3 处的函数值，然后取最大
如图所示，显然选 y2 比选 y1 要优
由于 si 单增，以后在求解 f(4)、f(5)... 的时候，这两条直线在 s4、s5... 处的函数值 y1 也不可能比 y2 更优，所以 y1 实际上就已经可以扔掉了

还有一种情况

可以发现，顺次插入 y1,y2,y3 这三条直线，因为要取最大值， y2 实际上已经被 y1 和 y3 完全覆盖了，无论 si 取何值，它都已经不可能成为最优的答案，这个时候 y2 也可以扔掉了
实际上就是维护了一个下凸壳啊

我刚开始不明白为什么完全覆盖的要扔掉，不扔直接做不行么
这里有一个反例

此时 y1 和 y3 已经将 y2 完全覆盖，应该扔掉
但是如果不扔掉的话，查询此时在 s4 处的最优值
显然 y1>y2 ，这个时候会默认 y1 即为最优值，不会将 y1 弹出
而实际上 y3 才是真正的最优值
所以判断是否有两条直线将另外一条覆盖是完全必要的

如何判断两条直线已经被另一条直线覆盖？
知识储备：初中数学
如上图，令 y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3
则求 y1 与 y3 的交点横纵坐标为
k1x+b1=k3x+b3
x=b3−b1k1−k3
y=k1b3−b1k1−k3+b1
然后求 y2 在 x 处的函数值
y2=k2b3−b1k1−k3+b2
若 y2≤y
即 k2b3−b1k1−k3+b2≤k1b3−b1k1−k3+b1
b3−b1k1−k3≤b2−b1k1−k2
(k1−k3)∗(b2−b1)≤(k1−k2)∗(b3−b1)
那么直线 y2 已经被 y1 和 y3 完全覆盖
如果斜率为负或者斜率单减的话别搞错了正负号就好

这就是整个斜率优化的过程

1.5 代码

代码简洁清晰明了

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
#define N 1000005

int n,l,r;
LL a,b,c,x;
int q[N];
LL s[N],f[N];

LL K(int j) {return -2*a*s[j];}
LL B(int j) {return f[j]+a*s[j]*s[j]-b*s[j];}
LL Y(int i,int j) {return K(j)*s[i]+B(j);}
bool cover(int x1,int x2,int x3)
{
    LL w1=(K(x1)-K(x3))*(B(x2)-B(x1));
    LL w2=(K(x1)-K(x2))*(B(x3)-B(x1));
    return w1<=w2;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&x),s[i]=s[i-1]+x;
    l=r=0;
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        while (lq[l])<=Y(i,q[l+1])) ++l;
        f[i]=Y(i,q[l])+a*s[i]*s[i]+b*s[i]+c;
        while (lq[r],q[r-1])) --r;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
}

2 斜率优化dp

2.1 常见形式

斜率优化dp的状态转移方程有一些比较特殊的性质：

• 求解最值
• 每一个状态能转化成一条直线
• 在求解某一个状态时，因变量为求解的状态值，自变量为与这个状态相关的量
• 自变量满足单调性，斜率满足单调性

2.2 基本方法

• 将状态转移方程化成能表示成直线的形式
• 找出自变量、因变量、斜率、截距，讨论自变量的单调性、斜率的正负及单调性
• 维护单调双端队列，维护上凸/下凸壳

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