动态规划（DP）优化之斜率优化讲解

“DP的斜率优化——对不必要的状态量进行抛弃，对不优的状态量进行搁置，使得在常数时间内找到最优解成为可能。斜率优化依靠的是数形结合的思想，通过将每个阶段和状态的答案反映在坐标系上寻找解答的单调性，来在一个单调的答案（下标）队列中O（1）得到最优解。”

在呈交给教练的总结里，我这样写到。确实，集训了几天，对斜率优化感受颇多，就此写一下自己的理解。

斜率优化的思想在2004年国家集训队员周源大神撰写的《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》中有详细阐述，想要看原文的同学可以戳这里：
https://wenku.baidu.com/view/b97cd22d0066f5335a8121a3.html

”一些试题中繁杂的代数关系身后往往隐藏着丰富的几何背景，而借助背景图形的性质，可以使那些原本复杂的数量关系和抽象的概念，显得直观，从而找到设计算法的捷径。”—— 周源《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》

斜率优化的核心即为数形结合，具体来说，就是以DP方程为基础，通过变形来使得原方程形如一个函数解析式，再通过建立坐标系的方式，将每一个DP方程代表的状态表示在坐标系中，在确定“斜率”单调性的前提下，进行形如单调队列操作的舍解和维护操作。(不知道单调队列的同学可以戳这里：http://baike.baidu.com/link?url=LLbLXZEpfkUY06P67Um5TAojjCfOUUTv3Yc5v5ymcroEsCft8XHAM_TphojFI8YGiopeW5jVphE3VCWIRjg-pK2-F3eeI5ynp7wJ8Mz7kOB4GHrIpBhQ_7F-DgxCGzPg）

一个算法总是用于解决实际问题的，所以结合例题来说是最好的：

---

Picnic Cows（HDU3045）

题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-3045

题目大意：
给出一个有N (1<= N <=400000)个正数的序列，要求把序列分成若干组（可以打乱顺序），每组的元素个数不能小于T (1 < T <= N)。每一组的代价是每个元素与最小元素的差之和，总代价是每个组的代价之和，求总代价的最小值。

样例输入包含：
第一行 N
第二行 N个数，如题意

样例输出包含：
第一行 最小的总代价

分析：
首先，审题。可以打乱序列顺序，又知道代价为组内每个元素与最小值差之和，故想到贪心，先将序列排序（用STL sort）。
先从最简单的DP方程想起：
容易想到：

f[i] = min( f[j] + (a[j + 1 -> i] - Min k) ) （0 <= j < i）

– –> f[i] = min( f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j ) )

Min k 代表序列 j + 1 -> i 内的最小值，排序后可以简化为a[j + 1]。提取相似项合并成前缀和sum。这个方程的思路就是枚举 j 不断地计算状态值更新答案。但是数据规模达到了 40000 ，这种以O（n ^ 2）为绝对上界方法明显行不通。所以接下来我们要引入“斜率”来优化。

首先要对方程进行变形：
f[i] = f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j )
– –> f[i] = (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) - i * a[j + 1] + sum[i]
（此步将只由i决定的量与只由j决定的量分开）
由于 sum[i] 在当前枚举到 i 的状态下是一个不变量，所以在分析时可以忽略（因为对决策优不优没有影响）（当然写的时候肯定不能忽略）

令 i = k
a[j + 1] = x
f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j = y
f[i] = b
原方程变为
– –> b = y - k * x
移项
– –> y = k * x + b

是不是很眼熟？ 没错，这就是直线的解析式。观察这个式子，我们可以发现，当我们吧许许多多的答案放在坐标系上构成点集，且枚举到 i 时，过每一个点的斜率是一样的！！ 很抽象？ 看图

可以看出，我们要求的f[i]就是截距，明显，延长最右边的直线交于坐标轴可得最小值。难道只要每次提取最靠近 i 的状态就行了嘛？现实没有那么美好。

像这样的情况，过2直线的截距明显比过3直线的截距要小， 意味着更优（在找求解最小值问题时），这种情况下我们之前的猜想便行不通。

那怎么办呢？这时就要用到斜率优化的核心思想——维护凸包。
何为凸包？
不懂得同学还是戳这里：http://baike.baidu.com/link?url=OWX7haiZHtuKD2hjbEBVouUGxKXIMvXDnKra0xDhxuz9zGttTg_JoRwmUcbrGD9Xp2BnbCJDF8BblaQffDBvblg0xNqgIOXCVZpQ7ZNBkWG

其实我们要维护的凸包与这个凸包并无关系，只是在图中长得像罢了。
那为什么要维护凸包呢？
还要看图：

这就是一个下凸包，由图可见，最前面的那个点的截距最小，也诠释了维护凸包的真正含义（想一想优先队列，是不是队首最优？）。那还是有人会提出疑问，为什么非要维护这样的凸包呢？ 答案就是，f[i]明显是递增的（相比于f[j] 加上一个代价），所以会在图中自然而然地显现出 Y 随着 X增加而增加的情况，呈现出凸包的模样。

可能这个过程比较晦涩难懂，没懂的同学可以多看几遍。

现在我们回到对 数 的分析

现在假设我们正在枚举 j 来更新答案，有一个数 k， j < k < i
再来假设 k 比 j 优（之所以要假设正是要推出具体情况方便舍解）

则有

f[k] + sum[i] - sum[k] - a[k + 1] * (i - k) <=
f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * (i - j) (k > j)

移项消项得
f[k] - sum[k] + a[k+ 1] * k - (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) <=
i * (a[k + 1] - a[j+ 1])

将只与 i 有关的元素留下，剩下的除过去， 得到

f[k] - sum[k] + a[k+ 1] * k - (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) /
a[k + 1] - a[j + 1] <= i
（这里注意判断除数是否为负， 要变号，当然这里排序过后对于 k > j a[k] 肯定大于 a[j]）

这个式子什么意思呢？我用人类的语言解释一下。
设 Xi = a[i], Yi = f[i] - sum[i] + a[i + 1] * i
那么原式即为如下形式：

(Yk - Yj) / (Xk - Xj) <= i

意思就是当有k 和 j 满足 j < k 的前提下 满足此不等式
则证明 j 没有 k 优

而这个式子的左边数学意义是斜率， 而右边是一个递增的变量， 所以递增的 i 会淘汰队列里的元素， 而为了高效的淘汰， 我们会（在这道题里）选用斜率递增的单调队列，也就是上凸包。（再看看前面的图，是不是斜率在递增）

我们还可以从另一个角度理解维护上凸包的理由

仔细观察下面的图：

一开始，1 号点的截距比2号点更优

随着斜率的变化，两个点的截距变得一样了

然后，斜率接着变化，1号点开始没有2号点优了，所以要舍弃

后面的过程，3号点会渐渐超过2号点，并淘汰掉2号点

分析整个过程，最优点依次是 1 -> 2 -> 3，满足单调的要求

但是如果是一个上凸包会怎样呢？

这里只给出最终图（有兴趣的同学可以自己推一推），可以预见的是，在1赶超2前，3先赶超了2就破坏了顺序，因此不行

思路大概是清晰了，现在只剩下代码实现方面的问题了

下面就看看单调队列的操作

先将推出的X, Y用函数表示方便计算：
X：

dnt X( int i, int j )
{
    return a[j + 1] - a[i + 1];
}

（dnt 是 typedef 的 long long）

Y：

dnt Y( int i, int j )
{
    return f[j] - sum[j] + j * a[j + 1] - (f[i] - sum[i] + i * a[i + 1]);
}

处理队首：

for(; h + 1 < t && Y(Q[h + 1], Q[h + 2]) <= i * X(Q[h + 1], Q[h + 2]); h++);

从队尾维护单调性：
（这里是一个下凸包所以两点之间的斜率要递增，即 斜率（1， 2） < 斜率（2， 3）, 前一个斜率比后一个小）

for(; h + 1 < t && Y(Q[t - 1], Q[t]) * X(Q[t], cur) >= X(Q[t - 1], Q[t]) * Y(Q[t], cur); t--);

（注意，要把除法写成乘的形式，不然精度可能会出问题）

斜率优化部分已经完结（说起来挺复杂其实代码很短），接下来就放出AC代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long dnt;

int n, T, Q[405005];
dnt sum[405005], f[405005], a[405005];

dnt Y( int i, int j )
{
    return f[j] - sum[j] + j * a[j + 1] - (f[i] - sum[i] + i * a[i + 1]);
}

dnt X( int i, int j )
{
    return a[j + 1] - a[i + 1];
}

dnt DP( int i, int j )
{
    return f[j] + (sum[i] - sum[j]) - (i - j) * a[j + 1];
}

inline dnt R()
{
    static char ch;
    register dnt res, T = 1;
    while( ( ch = getchar() ) < '0'  || ch > '9' )if( ch == '-' )T = -1; 
        res = ch - 48;
    while( ( ch = getchar() ) <= '9' && ch >= '0')
        res = res * 10 + ch - 48;
    return res*T;
}

int main()
{
    sum[0] = 0;
    while(~scanf( "%d%d", &n, &T ))
    {
        a[0] = 0, f[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf( "%I64d", &a[i] );
        sort(a + 1, a + n + 1);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        int h = 0, t = 0;
        Q[++t] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int cur = i - T + 1;
            for(; h + 1 < t && Y(Q[h + 1], Q[h + 2]) <= i * X(Q[h + 1], Q[h + 2]); h++);
            f[i] = DP(i, Q[h + 1]);
            if(cur < T) continue;
            for(; h + 1 < t && Y(Q[t - 1], Q[t]) * X(Q[t], cur) >= X(Q[t - 1], Q[t]) * Y(Q[t], cur); t--);
            Q[++t] = cur;
        }
        printf( "%I64d\n", f[n] );
    }   
    return 0;
}