中国剩余定理
简介
- Chinese remainder theorem(CRT) \text{Chinese remainder theorem(CRT)} Chinese remainder theorem(CRT)，中国古代求解一次同余式组的方法。
是数论中一个重要定理，又称孙子定理。
公式
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如果有一个一元线性同余方程组 ( S ) : { x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) ⋮ x ≡ a n ( m o d m n ) (S):\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1}\\ x \equiv a_2 \pmod{m_2}\\ \quad\vdots\\ x \equiv a_n \pmod{m_n}\\ \end{cases} (S):⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋮x≡an(modmn)
用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了 ( S ) (S) (S) 有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。 -
说明：
如果整数 m 1 , m 2 , … , m n m_1,m_2,\dots,m_n m1,m2,…,mn 两两互质，则对任意的整数 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an ，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：- 设 M = m 1 × m 2 × ⋯ × m n = ∏ i = 1 n m i M=m_1×m_2×\cdots×m_n=\prod\limits_{i=1}^nm_i M=m1×m2×⋯×mn=i=1∏nmi，即为整数 m 1 , m 2 , … , m n m_1,m_2,\dots,m_n m1,m2,…,mn 的乘积；
- 设 M i = M m i , ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , n } M_i=\dfrac M{m_i},\forall i\in\{1,2,\dots,n\} Mi=miM,∀i∈{1,2,…,n}，是除了 m i m_i mi 之外的 n − 1 n-1 n−1 个整数的乘积；
- 设 t i t_i ti 为 M i M_i Mi 膜 m i m_i mi意义下的逆元，即 M i t i ≡ 1 ( m o d m i ) , ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , n } M_it_i\equiv1\pmod{m_i},\forall i\in\{1,2,\dots,n\} Miti≡1(modmi),∀i∈{1,2,…,n}
- 方程组 ( S ) (S) (S) 的通解形式为：
x = a 1 t 1 M 1 + a 2 t 2 M 2 + ⋯ + a n t n m n + k M = ∑ i = 1 n a i t i M i + k M , k ∈ Z x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+\cdots+a_nt_nm_n+kM=\sum\limits_{i=1}^na_it_iM_i+kM,k\in\Z x=a1t1M1+a2t2M2+⋯+antnmn+kM=i=1∑naitiMi+kM,k∈Z
在膜 M M M 的意义下，方程组 ( S ) (S) (S) 只有一个解： x ≡ ∑ i = 1 n a i t i M i ( m o d M ) x\equiv\sum\limits_{i=1}^na_it_iM_i\pmod M x≡i=1∑naitiMi(modM)
证明
从假设可知，对于 ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } ∀i∈\{1,2,\cdots,n\} ∀i∈{1,2,⋯,n} ，由于 ∀ j ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } , j ≠ i , gcd ( m i , m j ) = 1 ∀j∈\{1,2,\cdots,n\},j\ne i,\text{gcd}(m_i,m_j)=1 ∀j∈{1,2,⋯,n},j̸=i,gcd(mi,mj)=1，所以 gcd ( m i , M i ) = 1 \text{gcd}(m_i,M_i)=1 gcd(mi,Mi)=1 。
这说明存在整数 t i t_i ti 使 t i M i ≡ 1 ( m o d m i ) t_iM_i\equiv1\pmod{m_i} tiMi≡1(modmi) 。
∴ a i t i M i ≡ a i ⋅ 1 ≡ a i ( m o d m i ) ∴a_it_iM_i\equiv a_i · 1\equiv a_i\pmod{m_i} ∴aitiMi≡ai⋅1≡ai(modmi)，
∀ j ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } , j ≠ i , a i t i M i ≡ 0 ( m o d m j ) \quad ∀j∈\{1,2,\cdots,n\},j≠i,a_it_iM_i\equiv 0\pmod{m_j} ∀j∈{1,2,⋯,n},j̸=i,aitiMi≡0(modmj)
∴ x = ∑ i = 1 n a i t i M i ∴x=\sum\limits_{i=1}^na_it_iM_i ∴x=i=1∑naitiMi时
∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } , \quad∀i∈\{1,2,\cdots,n\}, ∀i∈{1,2,⋯,n},
x = a i t i M i + ∑ j ≠ i a j t j M j ≡ a i t i M i + ∑ j ≠ i 0 ≡ a i ( m o d m i ) \quad\begin{aligned} x &=a_it_iM_i+\sum\limits_{j≠i}a_jt_jM_j \\ &\equiv a_it_iM_i+\sum\limits_{j≠i}0 \\ &\equiv a_i\pmod{m_i} \end{aligned} x=aitiMi+j̸=i∑ajtjMj≡aitiMi+j̸=i∑0≡ai(modmi)
这说明 x x x 就是方程组 ( S ) (S) (S) 的一个解。
假设 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2 都是方程组 ( S ) (S) (S) 的解
易知 ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } , x 1 − x 2 ≡ 0 ( m o d m i ) ∀i∈\{1,2,\cdots,n\},x_1-x_2\equiv 0 \pmod{m_i} ∀i∈{1,2,⋯,n},x1−x2≡0(modmi)
∵ m 1 , m 2 , … , m n ∵m_1,m_2,\dots,m_n ∵m1,m2,…,mn 两两互质
∴ M = ∏ i = 1 n m i ∴M=\prod\limits_{i=1}^nm_i ∴M=i=1∏nmi 整除 x 1 − x 2 x_1-x_2 x1−x2
∴ ∴ ∴ 方程组 ( S ) (S) (S) 的任意两个解都相差 M M M 的整数倍
又 ∵ x = ∑ i = 1 n a i t i M i ∵x=\sum\limits_{i=1}^na_it_iM_i ∵x=i=1∑naitiMi 是一个解
∴ ∴ ∴ 方程组 ( S ) (S) (S) 所有的解的集合就是：
{ k M + ∑ i = 1 n a i t i M i ; k ∈ Z } \quad \{kM+\sum\limits_{i=1}^na_it_iM_i; \quad k∈\Z\} {kM+i=1∑naitiMi;k∈Z}
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