关于各种平面分割问题......

第n条直线与前面n-1条直线均相交，而且交点不重叠。

如下图所示，第四条直线满足的条件是与前面3条直线相交而且交点不重叠。

令第n条直线分割的平面数是f(n)，则f(1)=2

我们再来考虑第n条直线，第n条直线与n-1条直线相交，交点不重叠，那么第n条直线被分成了n段。如上面的图可以看出此规律。这n段线段或者射线参与了平面的分割任务，而且他们分别位于n-1条直线分割出来的不同的平面区域内。所以第n条直线加入之后，多出来的平面数量是n。

故有 f(n)=f(n-1)+n.

递归式求出来了，可知f(n)=f(1)+2+3+...+n=1+1+2+3+...+n=。

 

 

下面来考虑n个平面分空间的问题。

n个平面分空间的问题的充要递归条件是：

第n个平面必须与前面n-1个平面都相交，而且这n-1个平面产生的交线在第n个平面上满足前面的直线分平面中的条件

如图所示： 黄色平面与前面3个平面的交线在黄色平面上满足上面所述性质。

可以想象，黄色平面被这些交线分割成f(3)个平面区域，这f(3)个平面区域均参与了空间分割任务，把空间一份为2，所以相对于3个平面的情况来说，增加了f(3)个空间区域。

令g(n)为n个平面分空间的空间区域数量，则g(1)=2

第n个平面被n-1条交线分割成f(n-1)个平面区域，而这f(n-1)个平面区域均位于不同的空间区域并参与了空间分割任务，所以增加了f(n-1)个空间区域

故有g(n)=g(n-1)+f(n-1)

可求g(n)=g(n-1)+f(n-1)=g(n-2)+f(n-2)+f(n-1)=...=g(1)+f(1)+...+f(n-1)=2+

对于的通项，百度下可知为，当然也可以自己求，利用等式左右均有3次式进行累加可以消除3次式并求出2次式的通项，

故g(n)=。

一、n条直线最多分平面问题

       题目大致如:n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。

       析:可能你以前就见过这题目，这充其量是一道初中的思考题。当有n-1条直线时，平面最多被分成了f（n-1）个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。 这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。

          故：f(n)=f(n-1)+n

                       =f(n-2)+(n-1)+n

                       ……

                       =f(1)+1+2+……+n

                       =n(n+1)/2+1

二、折线分平面（hdu2050）

        根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

        故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                       =f(n-1)+4(n-1)+1

                      =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                      ……

                      =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)   

                      =2n^2-n+1

三、三角形划分区域（hdu1249）

  解析：当n-1个三角形时，区域面积数为 f(n-1) 。

           要区域数最多，那么第n个三角形就必须与前n-1个三角形相交。
           则第n个三角形的一条边就被分割成 2*（n-1）-1条线段与两个半条的线段 ，
           即相当于2*（n-1）条线段。则第 n 个三角形被分割成 3*2*（n-1）条线段。
           则增加了 6*（n-1）个面。

 

            故：f(n)=6*(n-1)+f(n-1)

                f(n-1)=6*(n-2)+f(n-2)

                    ........

                f(2)=6*1+f(1)

          因为，f(1)=2

          所以，f(n)=3*n*(n-1)+2

四、封闭曲线分平面问题

       题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

        析：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。

              故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)     

                              =f(1)+2+4+……+2(n-1)

                              =n^2-n+2

五、平面分割空间问题（hdu1290）

           由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。（g（n）为（1）中的直线分平面的个数 ）此平面将原有的空间一分为二，则最多增加g（n-1）个空间。

         故：f=f(n-1)+g(n-1)     ps:g(n)=n(n+1)/2+1

                    =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

                    ……

                   =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

                  =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

                  =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

                 =(n^3+5n)/6+1

附上原地址：

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