BZOJ1010 ||洛谷P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY【斜率优化DP】

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Description

P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具,第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中,那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容
器,甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用


题目分析

可以算是斜率优化的入门好题了

斜率优化DP–详解

首先一个 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的方程很好设计
d p [ i ] dp[i] dp[i]表示 i i i个玩具装入容器所需最小费用
d p [ i ] = d p [ j ] + ( ( i − j − 1 ) + ( s u m C [ i ] − s u m C [ j ] ) − L ) 2 dp[i]=dp[j]+((i-j-1)+(sumC[i]-sumC[j])-L)^2 dp[i]=dp[j]+((ij1)+(sumC[i]sumC[j])L)2其中 s u m C sumC sumC C i C_i Ci前缀和

现在按照斜率优化套路对方程进行变形
d p [ i ] = d p [ j ] + ( ( i + s u m C [ i ] − L − 1 ) − ( j + s u m C [ j ] ) ) 2 dp[i]=dp[j]+((i+sumC[i]-L-1)-(j+sumC[j]))^2 dp[i]=dp[j]+((i+sumC[i]L1)(j+sumC[j]))2

一大堆字母看着都晕了,我们给个简便点的来代替
k [ i ] = i + s u m C [ i ] − L − 1 k[i]=i+sumC[i]-L-1 k[i]=i+sumC[i]L1
b [ i ] = j + s u m C [ j ] b[i]=j+sumC[j] b[i]=j+sumC[j]

现在继续变形
d p [ i ] = d p [ j ] + k [ i ] 2 − 2 k [ i ] ∗ b [ i ] + b [ i ] 2 dp[i]=dp[j]+k[i]^2-2k[i]*b[i]+b[i]^2 dp[i]=dp[j]+k[i]22k[i]b[i]+b[i]2

d p [ j ] + b [ i ] 2 = 2 k [ i ] ∗ b [ i ] − k [ i ] 2 + d p [ i ] dp[j]+b[i]^2=2k[i]*b[i]-k[i]^2+dp[i] dp[j]+b[i]2=2k[i]b[i]k[i]2+dp[i]

这里每个 k i [ i ] ki[i] ki[i]都是已知量
我们把 d p [ j ] + b [ i ] 2 dp[j]+b[i]^2 dp[j]+b[i]2看作 y y y b [ i ] b[i] b[i]看作 x x x 2 ∗ k i [ i ] 2*ki[i] 2ki[i]看作斜率
就可以用斜率优化的套路单调队列维护就好了


#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef double dd;
typedef long long lt;
#define sqr(x) ((x)*(x))

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=100010;
int n;
lt L,sumC[maxn];
lt ki[maxn],bi[maxn],dp[maxn];
int q[maxn],ll,rr;

dd calc(int j1,int j2)
{
    lt ty= (sqr(bi[j2])+dp[j2]) - (sqr(bi[j1])+dp[j1]);
    lt tx= bi[j2] - bi[j1];
    return (dd)ty/(dd)tx;
}

int main()
{
    n=read();L=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        sumC[i]=sumC[i-1]+read();
        ki[i]=i+sumC[i]-L-1; bi[i]=i+sumC[i];
    }
    
    ll=rr=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)//sqr是自己宏定义的平方
    {
        while( ll<rr && calc(q[ll],q[ll+1]) <= 2*ki[i] ) ++ll;
        dp[i]=sqr(bi[q[ll]]) + dp[q[ll]] - 2*ki[i]*bi[q[ll]] + sqr(ki[i]);
        while( ll<rr && calc(q[rr-1],q[rr]) >= calc(q[rr],i)) --rr;
        q[++rr]=i;
    }
    
    printf("%lld",dp[n]);
    return 0;
}

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