BZO1911 ||洛谷P3628 [APIO2010]特别行动队【斜率优化DP】

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题目分析

斜率优化DP–详解

首先容易想到一个简单的$O(n^2)$算法
$dp[i]$表示前$i$个士兵分组能得到的最大战斗力
$dp[i]=max(dp[j]+a\ast (sum[i]-sum[j]{)}^2+b\ast (sum[i]-sum[j])+c)$

然后把平方拆开，移项
$dp[j]+a\ast sum[j{]}^2-b\ast sum[j]=2a\ast sum[i]\ast sum[j]-a\ast sum[i{]}^2-b\ast sum[i]-c+dp[i]$
以$dp[j]+a\ast sum[j{]}^2-b\ast sum[j]$为$y$，$sum[j]$为$x$，$2a\ast sum[i]$为斜率进行斜率优化即可

注意此题所求是最大值，单调队列维护的是斜率单调递减的上凸壳

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#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long lt;
typedef double dd;
#define sqr(x) ((x)*(x))

lt read()
{
    lt f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=2000010;
lt n,a,b,c;
lt sum[maxn],dp[maxn];
int q[maxn],ll,rr;

lt qans(int i,int j){ return dp[j]+a*sqr(sum[j])-b*sum[j]-2*a*sum[i]*sum[j]+a*sqr(sum[i])+b*sum[i]+c;}
dd calc(int j1,int j2)
{
    lt ty=(dp[j2]+a*sqr(sum[j2])-b*sum[j2])-(dp[j1]+a*sqr(sum[j1])-b*sum[j1]);
    lt tx=sum[j2]-sum[j1];
    return (dd)ty/(dd)tx;
}

int main()
{
    n=read();a=read();b=read();c=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) 
    {
        int x=read();
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }
    
    ll=rr=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
    	while( ll<rr && calc(q[ll],q[ll+1]) >= 2*a*sum[i] ) ++ll;
    	dp[i]=qans(i,q[ll]);
    	while( ll<rr && calc(q[rr-1],q[rr]) <= calc(q[rr],i) ) --rr;
    	q[++rr]=i;
    }
    printf("%lld",dp[n]);
    return 0;
}