登峰造极之树——Splay伸展树
这个splay也是个很有趣的数据结构，它是为了平衡权值二叉树而提出的，却最终不是以权值二叉平衡树的形式被广泛使用，而是去维护序列的区间修改（某些线段树实现不了的区间修改，如区间翻转等），很多萌新在初学splay时都看的是平衡权值二叉树形式的，所以突然接触区间翻转等问题会有困难。这里我就不讲splay的权值平衡树的形式了（网上资料很多），而是主要讲一讲怎么去理解splay去维护区间（几乎没有人解释的很清楚）。
在学习splay维护区间时，一定要摒弃权值树的思维定式。这时的splay的每一个key键值对应原序列的a[i]，但是注意这个key在splay中不是一个二叉查找树,即不一定满足key的左孩子都小于key，右孩子都大于key，那我们根据什么去建一个splay呢？我们根据原序列的下标去建一个尽量平衡的二叉树（每次取中点作根），那么我们发现无论怎么旋转，一个key[u]下标对应size[left[u]]+1总是对应这个key[u]在原序列中的下标，例如我们需要查找a[k]（select(root,k)）,那么我们从根做起，若size[left[root]]+1>=k，说明我们需要的a[k]在左子树中，递归select(left[root],k),若size[left[root]]+1
一定要注意，我们没有以权值的形式去查找a[k]，而是以排名的形式查找k。
讲了这么多都是空话，我们解决一道实际问题吧：洛谷P3391，文艺二叉树，区间翻转的模板题。
既然我们可以用splay将一个下标k翻转到根，那么当我们需要翻转区间[l,r]时，我们可以先将下标l-1翻转到根，然后将下标r+1翻转到根的右子树，那么这时根的右子树的左子树就是我们需要的下标[l,r]的区间，打上lzay标记。然后在每次select找下标时，不断的把标记下传，同时把左右子树交换一下，这时不就相当于交换了下标嘛？
再好好理解一下，splay的这个特性使其有了与Treap和SBT竞争的余地。
下面就是我在洛谷写的题解了：
注意，这时的splay不再是一个二叉权值查找树，这时给每个节点维护一个size值表示子树中节点的个数。
我们先把原序列按照下标建成一个完美的平衡二叉树，那么这时对于一个u，它的size[left[u]]+1对应的在原序列中的下标，
这时我们发现不论怎么旋转，每个u的size[left[u]]+1是不会变的，
因此，当我们需要维护原序列的[l,r]序列的翻转时，我们可以把对应的size[left[u]]+1=l-1的先旋转到根节点，然后把对应size[left[u]]+1=r+1的旋转到根节点的右子树，那么此时这个右子树的左子树就是l<=size[left[u]]+1<=r，然后我们给这个节点打上lazy标记，在每次查找size[left[u]]=k时若u上有标记，将u的左右子树交换，并下传标记，在输出结果时也下传标记就行了。
一定要理解：splay不再是一个二叉权值查找树，它维护的key是原序列对应下标的值，它的中序遍历就对应了原序列，它根据size进行查找原序列的下标，此时我们要维护区间时就可以类似线段树的延迟操作打上lazy标记。然后下传到左右子树就行了。
这个偷梁换柱很巧妙，因为splay独特的伸展操作使它可以维护一个区间。若仅仅是需要一个平衡树，那么splay是没有使用的必要的，因为Treap也支持合并分裂，而SBT可以最快最稳定的完成所有平衡二叉树的操作。
参考代码：
#include0]=mid;else ch[rt][1]=mid;
fa[mid]=rt;size[mid]=1;
if (l==r)return;
build(l,mid-1,mid);build(mid+1,r,mid);
pushup(mid);
}
void rotate(int x,int &k){
int y=fa[x],z=fa[y],d=ch[y][1]==x;
if (y==k)k=x;
else ch[z][ch[z][1]==y]=x;
fa[ch[x][d^1]]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
ch[y][d]=ch[x][d^1];ch[x][d^1]=y;
pushup(x);pushup(y);
}
void splay(int x,int &k){
while (x!=k){
int y=fa[x],z=fa[y];
if (y!=k){
if ((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x))rotate(x,k);
else rotate(y,k);
}
rotate(x,k);
}
}
int select(int &rt,int k){
pushdown(rt);
int sum=size[ch[rt][0]]+1;
if (sum==k)return rt;
if (sum>k)return select(ch[rt][0],k);
else return select(ch[rt][1],k-sum);
}
void rever(int L,int R){
splay(L,rt);splay(R,ch[L][1]);
rev[ch[R][0]]^=1;
}
void print(int rt){
pushdown(rt);
if (ch[rt][0])print(ch[rt][0]);
if (2<=rt && rt<=n+1)printf("%d ",rt-1);
if (ch[rt][1])print(ch[rt][1]);
}
int main(){
n=read(),m=read();
rt=(3+n)>>1;build(1,n+2,rt);//将询问区间[l,r]转换成[l+1,r+1],那么我们翻转l-1,r+1时就不需要特判了。
for (int i=1;i<=m;i++){
int L=read(),R=read();
L=select(rt,L);R=select(rt,R+2);
rever(L,R);
}
print(rt);
return 0;
}