《普林斯顿微积分读本》笔记-第4章求解多项式的极限问题

第 4 章 求解多项式的极限问题

4.1 x->a时的有理函数的极限

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}$$

(1) 首先总是应该尝试用a的值替换x，如果分母不为0，那么一切顺利，极限值就是做替换后所得到的值。

(2) 0/0被称作不定式。可借助因式分解这一重要技巧来求解，因为函数在x=a处的值是无关紧要的，只需关注x在a附近的情况，因此，能够消去分子和分母中的公因式，之后再使用代入法求解。
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

(3) 如果分母为0但分子不为0，将总会牵扯到一条垂直渐近线，会有四种情况出现，通过查看f(x)在x=al两边的符号可以确定具体属于哪一种情况。

4.2 x->a时的平方根的极限

共轭表达式：a-b的共轭表达式是a+b，反之亦然。(a - b) (a + b) = a² - b²

如果碰到一个平方根加上或者减去另外一个量，可以试着把分子分母同时乘以其共轭表达式，也许会有令人高兴的惊喜发生。

4.3 x->∞时的有理函数的极限

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}$$

其中p和q是多项式。这里有一个非常重要的多项式性质：当x很大时，首项决定一切。

和的极限等于极限的和，这在所有的极限都是有限的时候成立。

对于任意的n>0，只要C是常数，就有：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{C}{x^n}=0$$

当看到某个关于P的多项式p(x)是多于一项时，把它代以
$$\frac{p(x)}{p(x)的首项}\times (p(x)的首项)$$

一般地，考虑极限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}$$
其中p和q为多项式，我们可以说：

1. 如果p的次数等于q的次数，则极限是有限的且非零；
2. 如果p的次数大于q的次数，则极限是∞或−∞；
3. 如果p的次数小于q的次数，则极限是0。

当x->-∞时，所有这些也成立。

4.4 x->∞时的多项式型函数的极限

综合利用前三节的技巧求极限。

4.5 x->-∞时的有理函数的极限

当x是一个非常大的负数时，在任意和中，最高次数项依然会占主导。此外，当x->−∞时，只要C是常数，且n是一个正整数，C/xⁿ仍然趋于0。所有这些都意味着，问题的解与之前的几乎差不多，但需要注意符号。
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x}{18}=\infty$$

如果x<0，并且想写$\sqrt[n]{x^{某次幂}}=x^m$，那么需要在x^m之前加一个负号的唯一情形是，n是偶的而m是奇的。

4.6 包含绝对值的函数的极限

拆解为分段函数后再分别求解左右极限及双侧极限，如果左右极限不相等，则双侧极限不存在（DNE）。