考研数学 第6讲 中值定理

文章目录

  • 1.涉及函数的中值定理
      • 介值定理可以推出零点定理
      • 介值定理证明平均值定理
      • 积分中值定理的证明(连续型的平均值定理)
  • 涉及导数微分的中值定理
      • 5.费马定理
      • 重点:费马定理的证明
        • 函数极限保号性
      • 费马定理的使用
      • 导数零点定理的证明(达布定理)
        • 导数零点定理证明导函数的保号性
    • 定理6罗尔定理(连续可导端点函数值相等,存在导数为0)
    • 小总结:导数零涉及的定理
      • 例1.6.5
      • 例1.6.6
    • 重点:罗尔定理的使用(乘积求导公式的逆用)
      • 例1.6.4
      • 例1.6.5
      • 习题1.6.3
      • 例1.6.7(多次罗尔定理)
    • 定理7:拉格朗日定理(重点的重点)
      • 遇差不决想拉氏
      • 遇到定积分时化不定积分或使用积分中值定理
      • 积分中值定理在开区间也成立
      • 拉氏的应用
        • 例1.6.10
    • 8.柯西中值定理
    • 泰勒公式
      • 1.带拉氏余项的泰勒公式
        • 注:0点展开的麦克劳林公式
      • 2.佩亚诺余项(极限情况下)
      • 重要的麦克劳林展开式
      • 证明:极值的充分条件(用泰勒公式证明)之前用保号性证明过一次
      • 泰勒公式的使用
  • 注:重点祖孙三代的关系
      • 例1.6.3
      • 例1.6.2
    • 小总结(祖孙三代)
      • 1.6.5 的提醒(导函数的特性,存在即可取介值)

考研数学 第6讲 中值定理_第1张图片

1.涉及函数的中值定理

考研数学 第6讲 中值定理_第2张图片

介值定理可以推出零点定理

介值定理证明平均值定理

较简单

积分中值定理的证明(连续型的平均值定理)

考研数学 第6讲 中值定理_第3张图片
考研数学 第6讲 中值定理_第4张图片

涉及导数微分的中值定理

5.费马定理

在这里插入图片描述

重点:费马定理的证明

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函数极限保号性

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费马定理的使用

可导函数最大值在内部,最大值为极大值,=》f‘(x0)=0
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考研数学 第6讲 中值定理_第8张图片

导数零点定理的证明(达布定理)

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导数零点定理证明导函数的保号性

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定理6罗尔定理(连续可导端点函数值相等,存在导数为0)

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推广到开区间,两侧极限相等也成立

小总结:导数零涉及的定理

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例1.6.5

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例1.6.6

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考研数学 第6讲 中值定理_第15张图片

重点:罗尔定理的使用(乘积求导公式的逆用)

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例1.6.4

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例1.6.5

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习题1.6.3

在这里插入图片描述
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例1.6.7(多次罗尔定理)

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定理7:拉格朗日定理(重点的重点)

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注意条件为闭区间连续可导,结论中为开区间

遇差不决想拉氏

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遇到定积分时化不定积分或使用积分中值定理

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积分中值定理在开区间也成立

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拉氏的应用

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例1.6.10

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8.柯西中值定理

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泰勒公式

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1.带拉氏余项的泰勒公式

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注:0点展开的麦克劳林公式

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带o的都是x->0时的情况

2.佩亚诺余项(极限情况下)

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重要的麦克劳林展开式

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证明:极值的充分条件(用泰勒公式证明)之前用保号性证明过一次

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泰勒公式的使用

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注意 在这里插入图片描述
它只有在a,b确定时是常数,含变量x情况下,它可以视为关于x的函数,不能提出积分
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注:重点祖孙三代的关系

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例1.6.3

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例1.6.2

小总结(祖孙三代)

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1.6.5 的提醒(导函数的特性,存在即可取介值)

且导函数不能存在除振荡间断点外的间断点

考研数学 第6讲 中值定理_第40张图片

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