前言
奇偶性
- 常见的奇函数：\(f(x)=kx\)；\(f(x)=x^3\)；\(f(x)=x^k(k为奇数)\)；\(y=Asin\omega x\)；\(y=e^x-e^{-x}\)；\(y=2^x-2^{-x}\)；\(y=ln\cfrac{x+1}{x-1}\)；\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)；\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)；\(g(x)=x^3+lg(\sqrt{x^2+1}+x)\)；
当函数中有对数符号时，判断奇偶性利用公式\(f(-x)+f(x)=0\)最方便。
常见的偶函数：\(f(x)=x^2\)；\(y=k|x|(k\in R)\)；\(y=e^{|x|}\)；\(f(x)=x^k(k为偶数)\)；\(y=Acos\omega x\)；\(y=e^x+e^{-x}\)；\(y=2^x+2^{-x}\)；
奇偶性的给出方式
典例剖析
例1【2016.天津高考】已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且在区间\((-\infty，0)\)上单调递增。若实数\(a\)满足\(f(2^{|a-1|})>f(-\sqrt{2})\)，则\(a\)的取值范围是【】
分析：由偶函数可知，\(f(x)\)总满足\(f(x)=f(-x)=f(|x|)\)，
\(f(x)\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，
故将已知条件转化为\(f(2^{|a-1|})>f(|-\sqrt{2}|)=f(\sqrt{2})\)，
利用在区间\((0，+\infty)\)上单调递减得到\(2^{|a-1|}<2^{\frac{1}{2}}\)，
这样得到绝对值不等式\(|a-1|<\cfrac{1}{2}\)，
解得\(a\in (\cfrac{1}{2}，\cfrac{3}{2})\)。
例2已知函数\(f(x)=\cfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\)，若\(f(a)=\cfrac{2}{3}\)，求\(f(-a)\)的值；
分析：在使用函数的奇偶性解题是要注意函数“整体有奇偶性”和“局部有奇偶性”，
\(f(x)=\cfrac{x^2+1+x}{x^2+1}=1+\cfrac{x}{x^2+1}\)，而原函数的局部\(g(x)=\cfrac{x}{x^2+1}\)有奇偶性，
是奇函数，故\(f(-x)+f(x)=1+g(-x)+1+g(x)=2\)，故\(f(-a)+f(a)=2\)，
解得\(f(-a)=2-\cfrac{2}{3}=\cfrac{4}{3}\).
其实，本题还能推出函数\(f(x)\)关于点\((0，1)\)对称。
反思：注意函数“整体有奇偶性”和“局部有奇偶性”，恰当利用，能方便我们的解题。
例3【信息题】
设函数\(f(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x+1\)，若\(f(3)=10\)，则\(f(-3)\)=【】
分析：令\(g(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x\)，则\(g(x)\)为奇函数，则\(g(-x)=-g(x)\)，
这样\(f(x)=g(x)+1\)，由于\(f(3)=g(3)+1=10\)，
令\(f(-3)=m=g(-3)+1\)，两式相加得到，
\(g(3)+1+g(-3)+1=10+m\)，即\(g(3)+g(-3)+2=10+m\)，即\(2=10+m\)，
解得\(m=-8\)，即\(f(-3)=-8\)，故选\(A\)。
例4判断函数\(f(x)=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{2-|x+2|}\)的奇偶性。
分析：研究函数的性质，一般先要求定义域，由题目可知\(\begin{cases}1-x^2\ge 0\\2-|x+2|\neq 0\end{cases}\)，
解得定义域是\([-1，0) \cup (0，1]\)，
这样函数就能简化为\(f(x)=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{2-|x+2|}=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{2-x-2|}=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{-x}\)，
所以\(f(-x)=-f(x)\)，故函数是奇函数。
例5定义两种运算：\(a\otimes b=\sqrt{a^2-b^2}\)，\(a\oplus b=\sqrt{(a-b)^2}\)，则\(f(x)=\cfrac{2\otimes x}{2-(x\oplus 2)}\)的奇偶性如何？
分析：由定义的运算可知\(2\otimes x=\sqrt{2^2-x^2}=\sqrt{4-x^2}\)，\(x\oplus 2=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|\)，
于是\(f(x)=\cfrac{\sqrt{4-x^2}}{2-|x-2|}\)，仿例2先求得定义域为\([-2，0)\cup(0，2]\)，
故\(f(x)=\cfrac{\sqrt{4-x^2}}{2-(2-x)}=\cfrac{\sqrt{4-x^2}}{x}\)，满足\(f(-x)=-f(x)\)，故函数\(f(x)\)为奇函数。
反思：研究函数的性质，一般都要求定义域优先原则。
例6设偶函数\(f(x)\)满足\(f(x)=2^x-4(x≥0)\)，则不等式的解集\(\{x\mid f(x-2)>0\}\)是【】
分析：先利用奇偶性求得函数的解析式\(f(x)=\begin{cases}2^x-4&x\ge0\\2^{-x}-4&x<0\end{cases}\)，接下来
法1：图像法，作出函数\(f(x)\)的图像，变换得到\(f(x-2)\)的图像，
从而利用图像解得不等式\(f(x-2)>0\)。图像
法2：代数法，由\(f(x)\)的解析式得到函数\(f(x-2)\)的解析式
\(f(x-2)=\begin{cases}2^{x-2}-4&x-2\ge0\\2^{-(x-2)}-4&x-2<0\end{cases}\)，
即\(f(x-2)=\begin{cases}2^{x-2}-4&x\ge2\\2^{2-x}-4&x<2\end{cases}\)，
故\(f(x-2)>0\)可等价转化为\(\begin{cases}x\ge 2\\2^{x-2}-4>0\end{cases}\)
或者\(\begin{cases}x<2\\2^{2-x}-4>0\end{cases}\)，
解得\(x<0\)或\(x>4\)，故选B.
法3，利用偶函数的性质，\(f(-x)=f(x)=f(|x|)\)，
由\(f(x)=2^x-4(x\ge 0)\)，可知偶函数\(f(x)\)在\([0 ，+\infty)\)上单调递增，且有\(f(2)=0\)，
故所求不等式\(f(x-2)>0\)，可以转化为\(f(x-2)>f(2)\)，
由偶函数再次转化为\(f(|x-2|)>f(|2|)\)，由\(f(x)\)在\([0 ，+\infty)\)上单调递增，
可知\(|x-2|>2\)，解得\(x<0\)或\(x>4\)，故选B.
例7函数\(f(x)\)在\([0，+\infty)\)上是增函数，\(g(x)=-f(|x|)\)，若\(g(lgx)>g(1)\)，求\(x\)的范围。
分析：由于\(f(x)\)在\([0，+\infty)\)上是增函数，故\(y=-f(x)\)在\([0，+\infty)\)上是减函数，
又函数\(g(x)=-f(|x|)\)是偶函数，故在\([0，+\infty)\)上是减函数，\((-\infty，0]\)上是增函数，
由函数\(g(x)\)是偶函数，则\(g(lgx)>g(1)\)等价转化为\(g(|lgx|)>g(1)\)，
又由于在\([0，+\infty)\)上是减函数，故有\(|lgx|<1\)
即\(-1
例8若\(\alpha，\beta\in [-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)，且\(\alpha\cdot sin\alpha-\beta\cdot sin\beta>0\)，则下列结论正确的是【】
分析：由\(\alpha\cdot sin\alpha-\beta\cdot sin\beta>0\)，得到\(\alpha\cdot sin\alpha>\beta\cdot sin\beta\)，
左右两边的结构一模一样，故联想到构造函数
令\(g(x)=x\cdot sinx\)，则上述条件可表述为\(g(\alpha)>g(\beta)\)，
要去掉符号\(g\)，我们就得研究函数的性质，尤其是奇偶性和单调性。
由于函数\(g(-x)=(-x)\cdot sin(-x)=x\cdot sinx=g(x)\)，故函数\(g(x)\)为偶函数；
当\(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)，\(g(x)=x\cdot sinx\)单调递增，
原因一：\(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)时，\(y=x>0\)且单调递增，\(y=sinx>0\)且单调递增，故\(g(x)\)在\(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增；
原因二：导数法，\(g'(x)=sinx+x\cdot cosx\)，当\(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)时，\(g'(x)>0\)，故\(g(x)\)在\(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增；
综上，函数\(g(x)\)在\([-\cfrac{\pi}{2}，0]\)上单调递减，在\(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增。
\(g(\alpha)>g(\beta)\)需要等价转化为\(g(|\alpha|)>g(|\beta|)\)，
故\(|\alpha|>|\beta|\)，则有\(\alpha^2>\beta^2\)，选D。
例9【2018合肥质检】
已知函数\(f(x)=sin^4x+cos^4x\)，\(x\in [-\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{4}]\)，若\(f(x_1)
分析：\(f(x)=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1-\cfrac{1}{2}\cdot 2^2\sin^2xcos^2x=1-\cfrac{1}{2}(sin2x)^2\)
\(=1-\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{1-cos4x}{2}=\cfrac{1}{4}cos4x+\cfrac{3}{4}\)，
则函数\(f(x)\)为偶函数，由\(f(x_1)
且在区间\([0，\cfrac{\pi}{4}]\)上单调递减，则有\(|x_1|>|x_2|\)，故\(x_1^2>x_2^2\)，故选\(D\)。
例10【2018·太原模拟】
已知函数\(f(x)=x(e^x-\cfrac{1}{e^x})\)，若\(f(x_1)
分析：先研究清楚函数的组成部分的性质，
\(y=x\)奇函数，在\(R\)上单调递增；\(y=e^x-e^{-x}\)奇函数，在\(R\)上单调递增(增+增)；
故\(f(x)=x(e^x-\cfrac{1}{e^x})\)为偶函数，在\([0，+\infty)\)上单调递增，在\((-\infty，0]\)上单调递减。
故由偶函数的性质，\(f(x_1)
等价于\(f(|x_1|)
即有\(|x_1|<|x_2|\)，即 \(x_1^2
例11【2018·珠海月考】
已知定义在\(R\)上的奇函数\(y＝f(x)\)在\((0，＋\infty)\)上单调递增，且\(f(\cfrac{1}{2})=0\)，则满足\(f(log{\frac{1}{9}}x)>0\) 的$ x$ 的集合为_________。
分析：由于\(y＝f(x)\)在\((0，＋\infty)\)上单调递增，且为奇函数，
则可知函数在\((-\infty，0)\)上单调递增，又\(f(\cfrac{1}{2})=0\)，
则可知\(f(-\cfrac{1}{2})=0\)，又由于函数定义在\(R\)上，则\(f(0)=0\)，
做出大致示意图如下，
由图像可得，
故有\(log{\frac{1}{9}}x>\cfrac{1}{2}\)或\(-\cfrac{1}{2}
即\(log{\frac{1}{9}}x>\cfrac{1}{2}=log{\frac{1}{9}}(\cfrac{1}{9})^{{\frac{1}{2}}}=log{\frac{1}{9}}{\cfrac{1}{3}}\)
或\(log{\frac{1}{9}}3
解得\(0
故所求集合为\(\{x\mid 0
例12【2019届高三理科函数的奇偶性周期性课时作业第5题】
设函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{log_2(1-x)，x<0}\\{g(x)+1，x>0}\end{array}\right.\)，若\(f(x)\)为奇函数，求\(g(3)\)值。
法1：利用奇偶性，求得\(g(x)\)的解析式，再求\(g(3)\)，略。
法2：【整体有奇偶性，但部分没有奇偶性】\(f(3)=g(3)+1\)，则\(g(3)=f(3)-1\)，由于\(f(x)\)为奇函数，则\(f(3)=-f(-3)\)，
故\(g(3)=f(3)-1=-f(-3)-1=-log_2(1+3)-1=-3\)，故\(g(3)=-3\)。
例13【2019届高三理科函数的奇偶性周期性课时作业第6题】
设函数\(f(x)=ln(\cfrac{2}{1-x}+a)\)是奇函数，则使\(f(x)<0\)的\(x\)的取值范围是__________。
分析：先求定义域，令\(\cfrac{2}{1-x}+a>0\)，即\(\cfrac{a(x-1)+2}{x-1}>0\)，
由于函数的定义域对称，则方程\([a(x-1)+2](x-1)=0\)的两个根之和为零，
即\(\cfrac{2}{a}+1+1=0\)，解得\(a=-1\)，代入\(\cfrac{2}{1-x}+a>0\)，
即\(\cfrac{2}{1-x}-1>0\)，解得定义域为\((-1，1)\)，
又\(f(x)<0=f(0)\)，又函数\(f(x)\)在区间\([0，1)\)上单调递增，
故\(x<0\)，又\(-1
例14【2019届高三理科数学二轮资料用题】已知定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)单调递增，且\(g(x)=|f(x)|\)，则不等式\(g(x)-g(2x-6)<0\)的解集是【】
分析：\(g(x)\)为偶函数，且在\([0，+\infty)\)上单调递增，\(g(|x|)
例15【2018山东威海二模】已知函数\(f(x)=xcosx-sinx-\cfrac{1}{3}x^3\)，则不等式\(f(2x+3)+f(1)<0\)的解集为【】
分析：由于\(f(-x)=-f(x)\)，古函数\(f(x)\)为奇函数，又由于\(f'(x)=cosx+x(-sinx)-cosx-x^2\)，
则\(f'(x)=-x(sinx+x)\leq 0\)，(此处针对\(x\)分类讨论即可判断正负)
故函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递减，又由于\(f(2x+3)<-f(1)=f(-1)\)，故\(2x+3>-1\)，解得\(x>-2\)，故选\(A\).
例16【2018河南南阳期末】设\(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx}\)，\(x_1，x_2\in[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)，且\(f(x_1)>f(x_2)\)，则下列结论必然成立的是【】
分析：\(f(-x)=e^{1-sinx}+e^{1+sinx}=f(x)\)，故函数\(f(x)\)为偶函数，
又当\(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)，\(f'(x)=e^{1+sinx}\cdot cosx+e^{1-sinx}\cdot (-cosx)=cosx(e^{1+sinx}-e^{1-sinx})>0\)，
故函数\(f(x)\)在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增，则由\(f(x_1)>f(x_2)\)得到，
\(f(|x_1|)>f(|x_2|)\)，则有\(|x_1|>|x_2|\)，则\(x_1^2>x_2^2\)，故选\(D\).
例17设函数\(f(x)=x^3+lg(\sqrt{x^2+1}+x)\)，则对任意实数\(a\)，\(b\)，若\(a+b\ge 0\)，则有【】
分析：函数\(f(x)\)满足条件，\(f(-x)+f(x)=0\)，故为奇函数，又函数在\(R\)上单调递增，故由\(a\ge -b\)，得到\(f(a)\ge f(-b)\)，即\(f(a)\ge -f(b)\)，则\(f(a)+f(b)\ge 0\)，故选\(B\)。
例18【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知函数\(f(x)=e^{-x}-x^3-e^x\)，则不等式\(|f(4x-7)|
分析：由于\(f(x)=e^{-x}-e^x-x^3\)为奇函数，且\(-f(-1)=f(1)\)，\(f(0)=0\)，在\(R\)上单调递减，
故\(|f(4x-7)|
例19【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知函数\(f(x)\)为偶函数，且当\(x>0\)时，\(f'(x)<0\)，则\(f(2x)>f(x+3)\)的解集是【】
分析：由\(x>0\)时，\(f'(x)<0\)，可知函数\(f(x)\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，
又由于函数\(f(x)\)为偶函数，由\(f(2x)>f(x+3)\)可得，\(f(|2x|)>f(|x+3|)\)，
则有\(|2x|<|x+3|\)，解得\(-1