陶哲轩实分析 例 1.2.12 洛必达法则使用注意事项

举两个不能使用洛必达法则的例子.

 

例1.$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}$$

 

如果此例用了洛必达法则,则$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1}=1.$$这显然是错误的.

 

$\frac{0}{0}$型洛必达法则:

当$x\to a$时，函数$f(x)$与$F(x)$都趋于零.在点$a$的某去心邻域内,$f^\prime(x)$及$F^\prime(x)$都存在，且$F^\prime(x)\ne 0$
$\lim_{x\to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}$存在（或为无穷大）,那么
$$\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim_{x\to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}$$

显然,例1中$\lim_{x\to 0}1+x\neq 0$,故不能使用洛必达法则.

 

例2:$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin(x^{-4})}{x}$$

这道题也不能用洛必达法则做,因为$2x\sin(x^{-4})-4x^{-3}\cos(x^{-4})$在0的任意小的邻域内都有无限个零点,不满足$\frac{0}{0}$洛必达法则的使用条件.

 当然,$\frac{\infty}{\infty}$型洛必达法则也有相应的注意事项,在此略去.

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