编辑本段
简介
逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的,故又称 布尔代数。
布尔
当
逻辑代数的逻辑状态多于2种时(如0、1、2或更多状态时),其通用模型的基本逻辑有2个。 一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑,是一个一元逻辑; 另外一种是两种状态中按照某种规则(比如比较大小)有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑,这是一个二元逻辑。 依据这两种逻辑,可以表达任意多状态的任意逻辑关系,即最小表达式。 即任意多状态的逻辑是完备的。 当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达:加减法和比较大小。 逻辑代数,亦称布尔代数,是英国数学家
乔治 布尔(George Boole)于1849年创立的。在当时,这种代数纯粹是一种数学游戏,自然没有物理意义,也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。
编辑本段
逻辑代数中的几个概念 参与逻辑运算的变量叫逻辑变量,用字母A,B……表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小,而是代表两种不同的逻辑状态。
逻辑代数
正、负逻辑规定: 正逻辑体制规定:高电平为逻辑1,低电平为逻辑0。 负逻辑体制规定:低电平为逻辑1,高电平为逻辑0。 逻辑函数:如果有若干个逻辑变量(如A、B、C、D)按与、或、非三种基本运算组合在一起,得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值(如0000、0001、0010)L有唯一的值与之对应,则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为:L=f(A、B、C、D)
编辑本段
逻辑代数的基本规则
代入规则
任何一个含有变量 X 的等式,如果将所有出现 X 的位置,都代之以一个逻辑函数 F,此等式仍然成立。
对偶规则
设 F 是一个逻辑函数式,如果将 F 中的所有的 * 变成 +,+ 变成 *,0 变成 1,1 变成 0,而变量保持不变。那么就的得到了一个逻辑函数式 F',这个 F' 就称为 F 的对偶式。如果两个逻辑函数 F 和 G 相等,则它们各自的对偶式 F' 和 G' 也相等。
逻辑代数
反演规则
当已知一个逻辑函数 F,要求 ¬F 时,只要把 F 中的所有 * 变成 +,+ 变成 *,0 变成 1,1 变成 0,原变量变成反变量,反变量变成原变量,即得 ¬F。
编辑本段
逻辑函数的标准形式 逻辑变量的逻辑与运算叫做与项,与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式,也叫做积之和式(SP form)。 逻辑变量的逻辑或运算叫做或项,或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式,也叫做和之积式(PS form)。
逻辑代数
最小项
对于 n 个变量的逻辑函数而言,它的与项如果包含 n 个文字,即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次,那么这个与项就称为该逻辑函数的最小项。
最大项
对于 n 个变量的逻辑函数而言,它的或项如果包含 n 个文字,即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次,那么这个或项就称为该逻辑函数的最大项。
编辑本段
逻辑函数的化简 运用逻辑代数的基本公式及规则可以对逻辑函数进行变换,从而得到表达式的最简形式。这里所谓的最简形式是指最简与或式或者是最简或与式,它们的判别标准有两条:(1)项数最少;(2)在项数最少的条件下,项内的文字最少。
逻辑代数
卡诺图是遵循一定规律构成的。由于这些规律,使逻辑代数的许多特性在图形上得到形象而直观的体现,从而使它成为公式证明、函数化简的有力工具。
编辑本段
其他
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计 数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有0和1两种逻辑值, 有与、或、非三种基本 逻辑运算,还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。
逻辑是指事物的因果关系,或者说条件和结果的关系,这些因果关系可以用逻辑运算来表示,也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态,在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ,称为逻辑0状态和逻辑1状态。 逻辑代数中的变量称为
逻辑变量,用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种,即逻辑0和逻辑1,0 和 1 称为逻辑常量,并不表示数量的大小,而是表示两种对立的逻辑状态。 逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的,故又称布尔代数。 当逻辑代数的逻辑状态多于2种时(如0、1、2或更多状态时),其通用模型的基本逻辑有2个。 一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑,是一个一元逻辑; 另外一种是两种状态中按照某种规则(比如比较大小)有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑,这是一个二元逻辑。 依据这两种逻辑,可以表达任意多状态的任意逻辑关系,即最小表达式。 即任意多状态的逻辑是完备的。 当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达:加减法和比较大小。 逻辑代数,亦称布尔代数,是英国数学家乔治 布尔(George Boole)于1849年创立的。在当时,这种代数纯粹是一种数学游戏,自然没有物理意义,也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。 其规定: 1.所有可能出现的数只有0和1两个。 2.基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。 与运算(逻辑与、逻辑乘)定义为: 0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1 或运算(逻辑或、逻辑加)定义为: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 至此布尔代数宣告诞生。 二、基本公式 如果用字母来代替数(字母的取值非0即1),根据布尔定义的三种基本运算,我们马上可推出下列基本公式: A·A=A A+A=A A·0=0 A+0=A A·1=A A+1=1 上述公式的证明可用穷举法。如果对字母变量所有可能的取值,等式两边始终相等,该公式即告成立。
类代数 类代数是类逻辑的代数化。所谓类逻辑是从外延上理解的一阶一元谓词的逻辑。一元谓词的外延指称该谓词所适用的个体的类。由论域中所有个体组成的类叫全类,记作 1。不含有任何事物的类叫空类,记作0。考虑全类的所有子类,即包含于其中的类(包括1和0),令a,b,с,…为这样的类变元。由论域中不属于a类的个体组成的类叫做a的补,记作a'。由或属于a类或属于b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑和(并类),记作a∪b。由既属于 a类又属于 b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑积(交类),记作a∩b,简记作ab。如果a类与b类所含的个体相同,则称a与b等同,记作a=b。a与b不等同记作a≠b。1和0是两个特定的类常元。',∪和∩是三种逻辑运算,分别叫类的取补、求和(加法)和求积(乘法)。此外,还可以通过定义引入包含于关系吇,例如把a吇b定义为a∩b' =0。于是自然有:对于任何类a,0吇a吇1。 在类代数中,不带有主词存在断定的直言命题aAb、aEb、aIb和aOb,可表示为a∩b'=0、a∩b=0、a∩b≠0和a∩b' ≠0。传统逻辑中三段论第1格 AAA式可表示为: 如果с∩b' =0且a∩с' =0,则a∩b' =0。第3格EIO式可表示为: 如果с∩b=0且с∩a≠0,则a∩b' ≠0。类代数的运算满足下表中列出的基本定律。 类代数的基本定律 幂等律 a∪a=a a∩a=a 交换律 a∪b=b∪a a∩b=b∩a 结合律 a∪(b∪с)=(a∪b)∪с a∩(b∩с)=(a∩b)∩с 吸收律 a∪(a∩b)=a a∩(a∪b)=a 分配律 a∪(b∩с)=(a∪b)∩(a∪с) a∩(b∪с)=(a∩b)∪(a∩с) 幺元律 0∪a =a 0∩a =a 1∪a =1 0∩a =0 补余律 a∪a' =1 a∩a' =0 从这些定律出发,特别是只需以其中的交换律、分配律、前两个幺元律和补余律作为初始定律即公理,就可以推导出类逻辑的所有定律(定理)。类逻辑的内容比传统的三段论理论要丰富得多,大致相当于只包含一元谓词的一阶谓词逻辑(见谓词逻辑)。一般的谓词逻辑也可以用更进一步的代数方法处理,但已超出通常所谓的逻辑代数的范围。
命题代数 命题代数在结构上与类代数完全相同。只要对类代数中的符号另作命题逻辑的解释,或者干脆改为相应的命题逻辑符号,就得到命题代数。即把类变元改为命题变元p,q,r,…;改为否定词塡(“并非”);∪改为析取词∨(“或者”);∩改为合取词∨(“并且”)。1和0分别解释为特定的逻辑上真的命题和逻辑上假的命题,或称有效命题和矛盾命题;=表示两命题逻辑上等值。这时,塡、∨和∧作为命题运算正好满足形式上与类代数的基本定律相对应的定律,而整个命题代数可包括命题逻辑的全部内容。命题代数和类代数可以有各种形式的公理系统,尤其是都可以有关于布尔展开式的定理,它相当于命题逻辑中的优析取范式和优合取范式的定理。 逻辑代数与命题代数有所不同。它还可以把1和0分别解释为命题的真和假,令变元只取1和0为值,即令其为二值的真值变元,并把塡、∨和∧解释为真值运算,从而得到一种提供命题真值运算定律的真值代数。而且,在二值的真值代数中特别可以有定理“p=1或p=0”,但在一般的命题代数和类代数中却没有与此相应的定理。