概率论和统计学中重要的分布函数

随机变量在概率空间中遵循不同类型的分布，这决定了它们的特征并有助于预测。

本文内容列表：

• 引言
• 高斯/正态分布（Gaussian/Normal Distribution）
• 二项分布(Binomial Distribution)
• 伯努利分布(Bernoulli Distribution)
• 对数正态分布(Log Normal Distribution)
• 幂律分布(Power Law Distribution)
• 分布函数的使用

引言

每当我们遇到任何概率实验，我们谈论的是随机变量，它只不过是获取实验预期结果的变量。例如，当我们掷骰子时，我们期望从集合{1,2,3,4,5,6}中得到一个值。所以我们定义了一个随机变量X，它在每次掷骰时取这些值。

根据实验的不同，随机变量可以取离散值，也可以取连续值。骰子的例子是离散随机变量，因为它取一个离散值。但是假设我们讨论的是某个城镇的房价，那么相关的随机变量可以取连续的值（例如550000美元，1200523.54美元等等）。

当我们将随机变量的期望值与实验中出现频率的关系图绘制出来时，我们得到了一个直方图形式的频率分布图。利用核密度估计对这些直方图进行平滑处理，得到了一条很好的曲线。这条曲线被称为“分布函数”。

橙色平滑曲线是概率分布曲线

高斯/正态分布

高斯/正态分布是一个连续的概率分布函数，随机变量在均值（μ）和方差（σ²）周围对称分布。

高斯分布函数

平均值（μ）：决定峰值在X轴上的位置。而且，所有数据都对称地位于X=μ线的两侧。如图所示，蓝色、红色和黄色曲线分布在X=0的两侧，而绿色曲线的中心位于X=-2。所以通过观察这些曲线，我们可以很容易地说，蓝色，红色和黄色的平均值是0，而绿色的平均值是-2。

方差（σ²）：决定曲线的宽度和高度。方差只不过是标准差的平方。请注意，图中给出了所有四条曲线的σ²值。现在不看数值，我们可以很直观地发现，黄色曲线的高度最低。

如果我们设置μ=0和σ=1，则称为标准正态分布或标准正态变量，一般表达式变为：

标准正态分布函数

现在我们可以思考，分母意味着什么？这是为了确保正态分布曲线下的面积总是等于1。

我们从正态分布中可以得到很多有用的数据分割信息。以下图为例：

正态分布的值分割图

如图所示，如果我们从平均值右移一个标准差，这个分布存储了总质量的34.1%；如果我们从平均值右移2个标准偏差，则为49.8%。因为这条曲线是对称的，所以两边都适用。

所以，现在我们知道了，如果任何数据服从正态分布，例如城镇人口的权重，我们可以很容易地估计出很多值，而不需要进行实际的广泛分析。这就是正态分布的力量。

二项分布（Binomial Distribution）

正如我们在名字里看到的，有一个“Bi”。这个‘Bi’代表一个实验的2个结果，要么是肯定的，要么是失败的，要么是1或者0等等。最简单的说，这个分布是多次重复实验的分布以及它们的概率，其中预期结果要么是“成功”要么是“失败”。

二项分布

从图像上可以看出，它是一个离散的概率分布函数。主要参数为n（试验次数）和p（成功概率）。

现在假设我们有一个事件成功的概率p，那么失败的概率是（1-p），假设你重复实验n次（试验次数=n）。那么在n个独立的伯努利试验中获得k个成功的概率是：

二项分布函数

其中k属于范围[0，n]，并且：

现在我们思考一个简单的问题。假设印度和澳大利亚之间正在进行板球比赛。Rohit Sharma已经得到了151分，根据你的经验，你知道150分之后，Rohit有0.3分的概率达到6分。这是最后一节了，你父亲问你Rohit有多大的机会能打4个全垒打。那你怎么判断呢？

这是一个典型的二项试验的例子。所以，解决办法是：

注：大括号中的6和4是6C4，它是6个球中4个全垒打的可能组合。

伯努利分布

在二项分布中，我们有一个特殊的例子叫做伯努利分布，其中n=1，这意味着在这个二项实验中只进行了一次试验。当我们把n=1放入二项PMF（概率质量函数）中时，nCk等于1，函数变成：

伯努利分布PMF

式中，k={0,1}。

现在我们来看看印度队对澳大利亚队的比赛。假设当Rohit达到100分（a ton），那么印度获胜的几率是0.7。所以你可以简单地告诉你父亲印度有70%的机会赢了。

对数正态分布

我们已经了解了正态分布的性质，乍一看，许多人会说，对数正态曲线在某种程度上也让我们看到了正态分布是右偏态的。

假设有一个随机变量X服从对数正态分布，均值=μ，方差=σ²。X有总共n个可能值（x1，x2，x3……xn）。现在取所有X值的自然对数，并创建一个新的随机变量Y=[Log（x1），Log（x2），Log（x3）…Log（xn）]。这个随机变量Y是正态分布的。

换句话说，如果存在正态分布Y，并且我们取它的指数函数X=exp（Y），那么X将遵循对数正态分布。

它还具有与高斯函数相同的参数：均值（μ）和方差（σ²）。

幂律/帕累托分布

幂律是两个量之间的关系，其中一个量的变化将成比例地改变另一个量。它遵循一个80-20法则：在前20%的值中，我们可以找到大约80%的质量密度。如图所示，稍暗的左侧部分为质量的80%，右侧亮黄色部分为20%。

当概率分布遵循幂律时，我们称之为帕累托分布。
帕累托分布由两个参数控制：x_m和α。
xμm可以看作是控制曲线尺度的均值，α可以看作是控制曲线形状的σ。（注：x_m不是平均值，α不是σ。）
现在我们可以在图像中看到，所有四条曲线的峰值都位于x=1。所以，我们可以说对于图中的所有曲线，x_m=1。
随着α的增加，峰值也会上升，在α趋于无穷大的极端情况下，曲线仅转变为一条垂直线。这叫做Diracδ函数。
随着α的减小，曲线变得更加平缓。

帕累托分布PMF

分布函数的使用

如果我们知道一个特定的数据遵循一定的分布特征，那么我们可以采取部分样本，找到所涉及的参数，然后可以绘制出概率分布函数来解决许多问题。
例如：在一个有10万人口的城镇，我们必须做身高分析，但我们不能对这么多人口进行调查。因此，我们选取一个随机样本，求出样本均值和样本标准差。
现在假设一位医生或专家告诉我们身高服从正态分布。这样我们就可以轻松地回答许多问题了。

作者: Saurabh Raj

deephub翻译组：Oliver Lee