复旦20考研机试真题(B)--打地⿏

给定 n 个整数 a1, a2, …, an 和⼀个 d，你需要选出若⼲个整数，使得将这些整数从⼩到⼤排好序之 后，任意两个相邻的数之差都不⼩于给定的 d，问最多能选多少个数出来。
【输⼊格式】 第⼀⾏两个整数 n,d (1<=n<=10⁵, 0<=d<=10⁹)，分别表⽰整数个数和相邻整数差的下界。 第⼆⾏ n 个整数 a1, a2, …, an (1<=ai<=10^9, 1<=i<=n)，表⽰给定的 n 个整数。
【输出格式】 仅⼀⾏⼀个整数，表⽰答案。
【样例输⼊】

6 2 
1 4 2 8 5 7 

【样例输出】

3 

【解释】 注意，选出的数在排序后，相邻两数之差不⼩于给定值。 ⽐如，对于给定值 2，[1 4 7] 是⼀个满⾜条件的选择⽅案，但是[1 4 5] 却不是，因为 5 - 4 = 1 < 2。 在本样例中，[1 4 7]，[1 4 8]，[1 5 7]，[1 5 8]，[2 4 7]，[2 4 8] 都是满⾜要求的选择⽅案，但是⽆论 如何都没有办法得到⼀个选出 4 个数且满⾜条件的⽅案，所以本样例的答案为 3。
【时空限制】 2500ms，256MB

这道题目，我只过了部分测试点，原因是超时了。我没有做到具体问题具体分析，滥用了动态规划，时间复杂度没有符合要求。下面我先给出自己考场上的代码，给大家做个反面教材，之后给出正确的代码。

考场代码(不能AC)：

#include 
#include
#include
using namespace std;
int dp[100010];
int max(int a, int b) { return a > b ? a : b; }
int main() {
	int n, d, ret =0;
	scanf("%d%d", &n, &d);
	vector<int>V(n);
	for (int i = 0; i < n; i++)
		scanf("%d", &V[i]);
	sort(V.begin(), V.end());
	for (int i = 0; i < 100010; i++)
		dp[i] = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = i + 1; j < n; j++) {
			if (V[j] - V[i] >= d)
				dp[j] = max(dp[j], dp[i] + 1);
			if (dp[j] > ret)
				ret = dp[j];
		}
	}
	printf("%d", ret + 1);
	return 0;
}

分析：上面代码中，我使用了STL中的排序算法，时间复杂度为O(nlog_n)，但是我用动态规划找最长递增序列的时候，时间复杂度是O(n²)；数据量是10⁵,运算量级10¹⁰显然超过了时间限制。

在这里真的要用动态规划吗？我先说结论，其实用不到，对排序之后的序列，从小到大取数字，每次取满足条件的最小的那个数字，最后取出的总数最多。
为什么这么说呢？示例部分给出的序列是[1 4 2 8 5 7 ]，取出的数字有多种情况，其实正是这一点欺骗到了我，让我觉得每次取最小最后的结果不一定是取出最多的。我现在给出一个序列[2 3 1 7 6 8]，d=2,排序后为[1 2 3 6 7 8]，我们发现了什么，只有[1 3 6 8]是可以有4个数满足条件的，但凡你不是每次取最小的，你都取不出四个。
这个也比较容易理解，假设我在选数字的时候a_i < a_i+1，并且这两个数都满足挑选条件，我取出的最长数字序列为[b₁ b₂ … a_i+1 … b_n]，那么序列[b₁ b₂ … a_i … b_n]也一定是满足条件的。所以每次选最小的，最后总的取出的数字数量一定是最多的。

Update:

#include 
#include
#include
using namespace std; 
int main() {
	int n, d, ret = 0;
	scanf("%d%d", &n, &d);
	vector<int>V(n);
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		scanf("%d", &V[i]);
	sort(V.begin(), V.end());  
	for (int i = 0; i < n;) {
		int j = i + 1;
		for (; j < n; ++j) {
			if (V[j] - V[i] >= d) {
				++ret;
				i = j;
				break;
			}
		}
		if(j==n)
			break;
	}
	printf("%d", ret + 1);
	return 0;
}