二叉查找树·AVL树·伸展树

一：二叉查找树

二叉查找树的特征是：根节点的左孩子小于根节点，而根的右孩子大于根节点。二叉查找树的平均深度为O（logN）。
　　对于重复的元素，可以采用在节点记录中保留一个附加域以指示发生的频率来处理。

二：AVL树

AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，这个平衡条件必须要容易保持，而且必须保证树的深度必须是O（logN），一棵AVL树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树。
　　当插入节点破坏了AVL树的特性，那么就需要考虑在这一步插入完成之前恢复平衡的性质。这里通过旋转来完成。必须要重新平衡的点叫做a,这种不平衡的情况一般有以下4种：
　　1.对a的左儿子的左子树进行一次插入；
　　2.对a的左儿子的右子树进行一次插入；
　　3.对a的右儿子的左子树进行一次插入；
　　4.对a的右儿子的右子树进行一次插入；
　　对于情况1和4，发生在“外边”，可以采用对树的一次单旋转而完成调整，而对于2和3这种情况，可以采用对树的双旋转来处理。
　　单旋转包括左旋和右旋，左旋就是针对1的情况，将a的左儿子的右子树作为a的左子树（k2.left = k1.right），将a及其子树作为a的左儿子的右子树（k1.right = k2），其中k2就是节点a，而k1是它的左儿子。右旋同理。
　　双旋包括左-右旋转和右-左旋转。其实就是两次单旋，就是先在a的儿子和孙子之间旋转而后再在a和它的新儿子之间旋转。实质上双选包括三个节点，分别为a(k1)，a的儿子（k3），a的孙子（k2），如果k3是k1的右孩子，而k2是a的左孩子，那么这种情况就需要右-左旋转，先在k3和k2之间进行左旋，之后再在k1和新的节点之间做右旋。

三：伸展树

伸展树保证从空树开始连续操作M次对树的操作最多花费O（MlogN）的时间。伸展树的基本思想是，当一个节点被访问后，它就要经过一系列AVL树的旋转被推到根上。
　　伸展树最主要的思想就是展开，以保证在下一次访问附近节点的时候，效率提高。那么，如何进行展开呢，展开的具体做法就是：首先一棵树，从根节点到该节点的访问路径上，这条路径可能呈“之字型”或者“一字型”，如果呈“之字型”，那么从该访问节点开始，与其父节点做单旋，完成之后，形成的新树，再判断新树是成什么形状，如果还是“之字型”，那么和前一次同理，如果是“一字型”，那么就从根节点和此路径上的根节点的儿子节点做旋转（以儿子节点为新根旋转），逐渐将原访问节点旋转到根节点处。
　　展开操作不仅将访问节点移动到了根节点处，而且还把访问路径上的大部分节点的深度大致减少一半（某些浅的节点最多向下推后两层）。