二叉排序树/二叉查找树（Binary Search Tree）原理

一  二叉排序树/二叉查找树（ Binary Search Tree ），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的 二叉树 ：

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
3. 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二   AVL树（平衡二叉树）

在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。

查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度（有时相反）。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。

带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。

[编辑]操作

AVL树的基本操作一般涉及运作同在不平衡的二叉查找树所运作的同样的算法。但是要进行预先或随后做一次或多次所谓的"AVL旋转"。

插入

向AVL树插入可以通过如同它是未平衡的二叉查找树一样把给定的值插入树中，接着自底向上向根节点折回，

于在插入期间成为不平衡的所有节点上进行旋转来完成。因为折回到根节点的路途上最多有1.5乘log n个节点，而每次AVL旋转都耗费恒定的时间，插入处理在整体上耗费O(log n) 时间。

]删除

从AVL树中删除可以通过把要删除的节点向下旋转成一个叶子节点，接着直接剪除这个叶子节点来完成。

因为在旋转成叶子节点期间最多有log n个节点被旋转，而每次AVL旋转耗费恒定的时间，删除处理在整体上耗费O(log n) 时间。

查找

可以像普通二叉查找树一样的进行，所以耗费O(log n)时间，因为AVL树总是保持平衡的。不需要特殊的准备，

树的结构不会由于查找而改变。（这是与伸展树查找相对立的，它会因为查找而变更树结构。）

实现描述

假设平衡因子是左子树的高度减去右子树的高度所得到的值，又假设由于在二叉排序树上插入节点而失去平衡的最

小子树根节点的指针为a（即a是离插入点最近，且平衡因子绝对值超过1的祖先节点），则失去平衡后进行的规律可归纳为下列四种情况：

1. 单向右旋平衡处理LL：由于在*a的左子树根节点的左子树上插入节点，*a的平衡因子由1增至2，致使以*a为根的子树失去平衡，则需进行一次右旋转操作；
2. 单向左旋平衡处理RR：由于在*a的右子树根节点的右子树上插入节点，*a的平衡因子由-1变为-2，致使以*a为根的子树失去平衡，则需进行一次左旋转操作；
3. 双向旋转（先左后右）平衡处理LR：由于在*a的左子树根节点的右子树上插入节点，*a的平衡因子由1增至2，
4. 致使以*a为根的子树失去平衡，则需进行两次旋转（先左旋后右旋）操作。
5. 双向旋转（先右后左）平衡处理RL：由于在*a的右子树根节点的左子树上插入节点，*a的平衡因子由-1变为-2，
6. 致使以*a为根的子树失去平衡，则需进行两次旋转（先右旋后左旋）操作。

在平衡的二叉排序树BBST (Balancing Binary Search Tree)上插入一个新的数据元素e的递归算法可描述如下：

1. 若BBST为空树，则插入一个数据元素为e的新节点作为BBST的根节点，树的深度增1；
2. 若e的关键字和BBST的根节点的关键字相等，则不进行；
3. 若e的关键字小于BBST的根节点的关键字，而且在BBST的左子树中不存在和e有相同关键字的节点，
4. 则将e插入在BBST的左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加（+1）时，分别就下列不同情况处理之：
   1. BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度，则将根节点的平衡因子更改为0，BBST的深度不变；
   2. BBST的根节点的平衡因子为0（左、右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子更改为1，BBST的深度增1；
   3. BBST的根节点的平衡因子为1（左子树的深度大于右子树的深度）：则若BBST的左子树根节点的平衡因子为1：
   4. 则需进行单向右旋平衡处理，并且在右旋处理之后，将根节点和其右子树根节点的平衡因子更改为0，树的深度不变；
5. 若e的关键字大于BBST的根节点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入在BBST的右子树上
6. ，并且当插入之后的右子树深度增加（+1）时，分别就不同情况处理之。