树形结构转线形结构——树链剖分——子树问题

        昨天遇到了这样一道题目：

                一个公司有 n 个员工，编号从 0  到 n-1 ，每个员工都有一个直系上司，编号为 0 的是整个公司的董事长（包工头），现在，给出每个员工每月的初始工资，为了鼓励最佳员工和最佳部门，现在，董事会会有以下两种询问：

                1、employee x y z ：询问员工 x 的工资，如果员工的 x 的工资小于 y ，那么就给他（她）涨 z 元

                2、department x y z ：询问员工 x 领导的部门的平均工资，如果平均工资小于 y ，那么就给这个部门的每个员工涨 z 元

        当时一看到题目就知道是树链剖分，对于树链剖分我只知道个大概，队友给我讲了他的做法，但是没有听明白，最后还是没有在比赛期间做出来，感觉甚是可惜，深感以后决不能再因为这样挂题，于是昨天晚上还有今天一直在恶补树链剖分，只是搞懂了一些简单的问题，现在总结一下。

        这样的题目，只是涉及到节点和子树的问题，并不涉及到对树上的路径进行操作，显得要简单一点。

        为了深刻的理解树链剖分，我们的首先来看一下树的遍历，这里指的是DFS

        在遍历的时候，假定我们给每一个遍历的节点一个从小到大的编号，这样的编号有什么特点呢？我们来看一下：

                                

        现在假定我们有上面一颗树：整棵树的根是 1 ，我们从根节点遍历，遍历的方式利用 先根遍历 ，1 节点的编号是 1 ，然后遍历的时候遇到一个新的节点，序号就 +1，这样，我们不难得到以下的序号：

                节点        ：1 2 4 5 8 9 6 3 7

                节点序号：1 2 3 4 5 6 7 8 9

        得到这个表格有什么用呢？

        我们仔细观察一下：

                节点 1 是整棵树的根，节点 1 的序号是整棵树的节点里面序号最小的，并且，以节点 1 的为根的数的节点的序号全部是紧接着着节点 1 的序号的

                节点 2 是子树（2 4 5 6 8 9）的根，节点 2 的序号是以节点 2 为根的树中节点序号最小的，并且，以节点 2 为根的子树的节点的序号全部是紧接着节点 2 的

                节点 5 是子树（5 8 9）的根，节点 5 的序号是以节点 5 为根的树中节点序号最小的，并且，以节点 5 为根的子树的节点的序号全部是紧接着节点 5 的

                。。。。。。

        我们发现了这样的一条规律，以节点 u 为根的子树 T，T 中所有的节点的序号一定是大于节点 u 的序号的，并且，我们得到的 DFS序列中，T 中所有的节点一定是紧接着 U 出现的

        当然，这只是一个小小的规律，直觉强的觉得不用证明，肯定是这样的，但既然提出了这个规律，我还是简单的证明一下这个规律是正确的吧

                1、证明 T 中所有节点的序号大于 U

                        我们在遍历 T 中所有节点的时候，遍历的方式是先根后子树，那么，那么我们一定是先遍历的节点 U ，然后再遍历以节点 U 为根的子树 T 中的所有节点，这样，节点 U 的序号一定是子树中所有节点的序号中最小的

                2、证明 T 中的所有节点在生成的DFS序列中一定是紧接着节点 U 的出现的

                        证明这个问题，其实就跟上面的问题一样，同样因为我们是先根遍历的，那么作为根节点的 U 在DFS序列中一定是出现在 T 中所有节点的最前面，而中途不可能遍历到其他子树的节点，如果遍历到了，说明以 U 为根的子树已经遍历完了

        得到了这样的性质，我们就可以把对整棵子树的操作改成对生成的 DFS 序列中的节点进行操作了，这就变成了简单的 线段树成段更新，成段查询问题了，而这道题我们只需要加一个预处理——得到 DFS 序列，同时得到 DFS 序列中，以某一节点为根的子树在DFS序列中的结束位置即可，我们可以用 low [u] 来记录生成的 DFS序列 中，以 U 节点为根的子树到哪里截止，不难想出如下地推方程：low[u] = max( low[u_son1] , low[u_son2] , ... low[u_sonk] )

        下面给出 DFS 预处理过程：

                
        之所以 low[v] = ind 是根据 DFS过程的性质，小小的利用一下而已。

        这道题不知道队友是怎么做的，不过思路是一样的，但是昨天一直挂在按照原来的序号输出所有员工的工资上了，我加了个 id[u] 表示节点 u 在生成的 DFS 序列中的起始位置，这样就解决了按照原来序号输出的问题了

        这里是原题连接：有兴趣的朋友可以去切一切，虽然题目很水。。   Money out of Thin Air

        有什么细节还不明白的可以看看我的代码：

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        另外，还有一道题目，题目大意是这样的：有一个苹果树，开始的时候树中每个节点都有一个苹果，现在给一些操作：

                1、C x ：如果节点 x 有苹果就把这个节点的苹果摘掉，如果没有苹果，表示这个节点长出一个苹果

                2、Q x ：询问以节点 x 为根的子树中共有多少苹果

        题目连接：Apple Tree

        也是对树中的节点进行更新的题目，并且不涉及到树中的路径，我们还是可以按照上面的操作，把树型结构通过一遍先根遍历转换成线性结构，然后记录一个树状数组就行了，就不怎么详细说明解题方法了，直接上代码：

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