二分图最大匹配——匈牙利算法

Powered by:AB_IN 局外人

所谓匹配就是左右集合的点连起来。

显然这个最大的匹配数为：$3$

先给出主要函数

bool dfs(int u)
{
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].v;
        if(!vis[v]){
            vis[v]=1;
            if(!lk[v] || (dfs(lk[v]))){
                lk[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

• 用链式前向星存图，$dfs$的循环就是遍历包含$u$的边。$u$在左集合里。
• $vis$记录这个点（右集合里）有没有以前走过。
• 如果没走过，那么就标记上走过。$lk$是以右集合的点为下标，值为左集合的点，$lk[v]=u$证明$u$和$v$连上了。
• 下一个$if$
  • 如果这个$v$没有被用，那么直接赋值。
  • 或者看看这个$v$对应的已匹配$u$能不能再找一个别的$v$匹配。如果可以，那么这两个$u$都可以匹配上两个不同的$v$。

再给出两个重要结论：

最小顶点覆盖 = 二分图的最大匹配。

最大独立集 = 点的总数 - 最小顶点覆盖。

顶点覆盖：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边。最小顶点覆盖就是选择最少的点来覆盖所有的边。
独立集：是一个点集，点集中的各点之间没有连边。

poj1274 The Perfect Stall

#include 
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int maxn=100010;
struct Edge
{
    int u, v, next;
}edge[maxn<<2];
int head[maxn];
int cnt;
void add_edge(int u, int v)
{
    edge[cnt].u = u;
    edge[cnt].v = v;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

int n,m,t,x,y;
int flag;
bool vis[maxn];
int lk[maxn];
bool dfs(int u)
{
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].v;
        if(!vis[v]){
            vis[v]=1;
            if(!lk[v] || (dfs(lk[v]))){
                lk[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    IOS;
    while(cin>>n>>m){
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>t;
            while(t--){
                cin>>x;
                add_edge(i,x);//有向图
            }
        }
        memset(lk,0,sizeof(lk));
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){//遍历每一个左集合点
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            if(dfs(i))
                ans++;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}