[机器学习]信息论(Information theory)的一些point

信息论(Information theory)的一些points


①—熵(entropy)

          对于一个变量X~p(X服从p分布),该变量的熵是 描述该变量的不确定性的一个值
          eg:对于一个有k个状态的离散随机变量X,有
          
          a.当log以2为底的时候称之为 bits,结果可以视为多少个二进制位可以表示该变量
          b.当log以e为底的时侯称之为 nats


②—KL divergence (KL距离)

          这个值是用来衡量两个分布之间相异度的,具体来说,假设有k个状态的两个离散分布p,q,则
                         
               a.如果是连续的随机变量,把∑用积分 符号替换就好了
          对上式进行转化:
            
          其中H(p,q)称为交叉熵 (cross entropy)
               
          交叉熵可以看作是当我们用模型 q来编码来自模型p的变量时所需的平均bits(如果log以2为底的话)
          所以,有有H(p)=H(p,p),所以KL距离就可以看做是: 用模型q来编码来自模型p的变量所需的额外bits!
          因为是“额外的”,所以 KL的距离的值一定大于0,KL=0当且仅当p=q。


③—互信息(Mutual Information)

          我们知道如果p(x,y)=p(x)p(y),则X和Y互相独立
          而衡量两个随机变量的相关性有 相关系数 ,而 互信息就是用来衡量 p(x,y)与p(x)p(y)之间的关系的
          
          其实就是借用了上面的KL距离,可以知道 
          
          另一个有用的定义是 pointwise mutual information(PMI),是对于每个点的定义
          
          可以 得知 MI值其实就是PMI值的期望



④—for 连续随机变量

          上面都是 讲的离散随机变量 ,如果要变化到连续随机变量,则可以 ∑用积分 符号替换就好了
          对于连续随机变量一个有用的参数是maximal information coefficient(MIC)
          
          
          是用来告诉我们两个变量的独立性的一个系数,可以表示两个变量间的独立性
          MIC值介于[0,1],0表示两个变量互相独立,而1表示两个变量有无噪(noisy-free)的关系(不仅仅是线性关系)

                           一个图示说明---图片来自《Machine Learning - A Probabilistic Perspective》--
          
          左边图的 横轴是MIC,纵轴是相关系数,例如C点是相关系数接近0,MIC接近0,从右图可以看出 C的分布是没有规律的
          而H或者D图,两个变量间有很强的关系,表现为基本上的线性关系 ,其它例子自己看把

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