【转载】NP完全问题——最小曼哈顿网络

作者 陈怀临 | 2009-06-26 16:43

文章来源：弯曲评论

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      最近，复旦大三本科学生破解“最小曼哈顿网络问题”猜想的消息轰动了全国。笔者认为那些记者们估计对什么是曼哈顿网络都是第一次听说。但这好像不妨碍记者们的妙笔生花。 这倒是首先证明了目前中国记者这个行业的低劣。

      这个新闻源自第25界计算几何年会（Proceedings of the 25th annual symposium on Computational geometry）的一篇来自中国的学术论文。这篇题目为“Minimum Manhattan Network is NP-Complete”的文章获得了最佳论文奖。论文的作者是三位，其中第二和第三作者分别为来自复旦大学计算机系的郭泽宇与孙贺。这篇论文题目的中文翻译是：最小曼哈顿网络问题是一个NP完全问题。第一作者为香港大学计算机系的教授Francis Y. L. Chin。Francis于1996年就被评为IEEE的院士（Fellow）。

      本文试图从科普的角度简单介绍一下曼哈顿网络问题和孙贺与郭泽宇的工作。 为什么说简单介绍？因为，笔者花了2天的时间，基本上没有看懂其数学证明。自古英雄出少年呀！中国最不缺的就是人才。不知道缺的是什么。

      最小曼哈顿网络问题，是1999年提出的一个计算几何重要猜想。由J. Gudmundsson, C. Levcopoulos和G. Narasimhan最早提出。其大概意思是：在一个二维的平面中，有n个离散的点。你现在要构造一个网络，从而任意的两点之间要能够存在一条路。这条路我们叫做曼哈顿路径。这个网络叫做曼哈顿网络。关于这个路有一个限制条件，其要么是水平的（线段），要么是垂直的（线段）。用北京的路来说，就是，要么是南北向的，要么是东西向的。你不能是南方小城中的那种斜路，更不要是周庄的那种小歪路了。在定义了这些条件之后，最小曼哈顿网络（Minimum Manhattan Network)问题是：你如何找出一个算法，从而对于任何的n个点，你能构造出一个总长度最小的曼哈顿网络。下图是曼哈顿网络的一个图解示例：

图一所示的就是一个10个节点的曼哈顿网络图。

 

 

      请注意，连接任何节点的道路（曼哈顿路径）要么是水平的线段要么就是垂直的线段。图二解释的是在曼哈顿网络中，两个节点之间的曼哈顿路径长度的计算是 |x1-x2| + |y1-y2|(笔者注：对于这个没有明白的读者，请报考补习初二的平面几何。)。其中节点1的坐标是（x1,y1);节点2的坐标是（x2,y2)。图2的左边的图不是曼哈顿网络或路径，为什么？路都是斜的连接。

      读者立刻可以联想到，这个很有用。例如城市道路规划，芯片布线设计等等。。。其实笔者认为基本上没有用，其实就是数学家和计算几何学者们冬天在家YY时的题目。反正歇着也是歇着：-）在工程实践中，次优解往往是最好的方案。

      那么郭泽宇同学和孙贺同学等的工作贡献是什么？

      是证明了，最小曼哈顿网络算法是一个NP完全问题。

      NP什么意思？简单的讲，指的是，这个算法是可解的，但是，算法复杂性不是一个多项式时间，而是一个指数级别的复杂性问题。例如，流行的人肉搜索就应该是一个NP问题。

      在该论文中，严格证明了这个问题不仅仅是NP Hard问题，而且是NP完全问题。NP完全的意思是：如果这个问题有多项式复杂度的求解方案，天下所有的NP问题都可以通过多项式时间复杂度的映射得出其多项式求解方案。用通俗的化讲，就是最难的问题。如果这个问题可以被多项式时间的算法来求解，天下所有的可解的问题都没有问题。那么NP就等于P了。NP等于P又是什么意思？基本上不能往下讲了。基本上就超出弯曲评论的范畴了。

      那么是如何证明最小曼哈顿网络问题是NP完全问题的呢？

      是通过非常漂亮的数学技巧，利用经典的NP完全问题3-SAT，通过构造一个多项式复杂度的映射（归纳），产生MMN（最小曼哈顿网络）算法，从而可以得出，MMN是NP-Complete，即NP完全问题。笔者自己基本上看不懂其证明。当然，笔者并不惭愧，确实很难：-）

从复旦大学透露的相关资料，两位同学应该是在香港大学计算机系Francis教授的指导下开展的最后攻关工作，并完成的论文。笔者感觉郭同学是做出了突破的那个人。Francis不用说，是指导老师，而且应该是论文的主要起草者。郭同学当然是聪慧过人，但以一个大三学生能把一个高水平的英文论文写好，除非他是复旦大学外语学院的，而非计算机系的。孙贺同学是郭泽宇的直接指导老师和合作者，也是一个主要贡献者。其在复旦大学计算机系有主页，看了一下 ，相当的优秀。孙贺，1984年1月出生,2002年世界数学家大会十五分钟报告人，当时，其年仅18岁（！！！）。2002年进入复旦。目前复旦大学计算机系的博士生。这里是年仅25岁的孙贺同学的主页。

      最小曼哈顿问题本身不算是计算理论，或者计算复杂性领域的重大问题，但是计算几何方面的一个突出问题。

      这次对MMN是NP完全的证明，确实是一个突破，是一个很漂亮的证明。

      我个人认为，这篇重量级文章的面试，基本上是复旦大学计算机系在理论研究方面的里程碑。可以说北有清华，南有复旦。

有兴趣的读者可以参阅发表的英文论文： Minimum Manhattan Network is NP-Complete