业余数学牛人的数学自学心得

　　这篇文章是一个非数学专业的自学心得。作者分享了自学中的一些个人的见解，或许对很多科班数学的朋友并不适用。作者的背景：吉林大学地球科学本科，陈省身数学所硕士，约翰霍普金斯大学博士。

　　在网上常看到朋友问很多有关于数学学习的问题，有数学系的，也有纯自学的，许多问题我都亲身经历过。在这里就简单说一下我的个人经验，希望对大家有一定的借鉴作用。如果你智商非常高或者成绩非常好的话，可能本文不太适合你，因为本文作者智商一般，成绩也很差，应该不会想到你们想不到的东西。首先，选择学数学，那说明这个人还是比较聪明的，至少他应该知道如何利用自己的智商，这点很重要。学习最重要的是要量力而行。掂量一下自己的分量再说。不止一次看到朋友说自己爱学微分几何拓扑什么的，但是作为基础的一些科目，掌握的却不甚好，这样就说明大家有盲目追前的弊端，其实我个人也有这个毛病的。后来遇到了一些事，才开始意识到自己的不足。建议大家读读华罗庚的书，个人觉得对人有极大好处，一点也不是夸的，他的学术水平暂且不提，单就作学问的哲理，第一流的。说白了。就是八个字：本固枝繁，根深叶茂。我个人看过许多传记类的书，现在不爱看了。我相信很多朋友受它的影响很大的，总觉得应该像天才一样思考，要学习的多么多么的快，当然也有迫于一些外界因素必须要赶紧学习的。我个人的建议是：脚踏实地，学一点是一点，盲目的超前只能使你一事无成，自毁前途，一点不是吓唬人，我遇到的这样的人多了。学习要稳稳的，端正自己的态度，不要看那些天才，也不要看身边的什么什么人。不要搞革命英雄主义，成天想着：他能作到的我一定要作到。多想想为什么他能作到一件我作不到的而我做不到一件他做不到的。

　　学数学重在个人见地，不在于硬和人家拼强项。端正了学习的态度（之所以第一个提它，主要是因为不光学数学，做任何学问都是如此）。然后就要问问自己：为啥学数学？？你了解数学吗？？

　　对两类人的忠告

　　自学的：我接触的这些朋友比较多。每个人都说自己对数学多么的狂热。俺说句心理话，我就看不出来数学这枯燥的东西对人能有多大的魅力。很多人我感觉是受一些外在的因素的影响，比如学数学会使人很高深等等的。尤其是最近的风气也是对数学有利，所以迎风上。可能我的话有点尖刻。但事实就是如此！很多人对数学缺乏一些常识性的了解，仅仅看了几篇描写大师的作品，就声称自己爱数学，是很让人痛心的，学数学，比娶个老婆还更能影响人的一生，慎之！对于这类人，我的建议是冷静一下头脑。伟大的学科遍地都是，犯不着在一棵树上吊死。对于那些真正适合自学数学的人，我想好的方法一定比我还多，就用不到我罗嗦了。中国自从陈景润之后铺天盖地的出来很多数学爱好者，以前我以为都是夸张，现在接触到多了，才感觉这种浪费人才的现象真的很让人痛心。也许很多朋友看到我这句话很不中听，但是我觉得它是对的：数学只不过是一门学科，它没有任何理由凌驾于其他学科之上，为人民服务，你应该选择自己能做最大贡献的方式！

　　数学系的：这些人我认识也不少，除了一些朋友之外，多数都是被调剂到数学系的。很多人都不爱学数学，甚至有本来对数学有一定的兴趣，学多了发现很难之后又不爱学的。对于这个，我的建议是：成熟一点，如果你没有别的理想代替的话，作好你的本职工作是本分！不爱数学并不能成为你不学它的借口。难更不是理由！天底下没有容易获得的成绩，怕苦怕难，那你什么都干不了。

　　谈点数学细节

　　解决了这些基本的动力问题。就该好好谈谈细节了：

　　学习需要一个过程，需要一个近期目标。我个人建议，跟着大学的进度就很合适了。尽管有各种各样不合理的呼声，但是大学课程的设置都是一些很有学问的人作出的，总比我们这些弱冠想的深想的远，不能盲目的迷信权威，但是不听从权威的建议，你走不远的。本科课程各个学校开设的都不太一样，有多有少，加上一些限制性，非限制性选修课就更加庞杂了。如何取舍呢？人的精力有限。但是至少我认为本科开设的所有课程，你都必须要精通。记得我们还很嫩，学的东西都是基础，以后无论你做哪个方向的学问，你都会用到的。现在就以“人的精力有限”为理由，是懒惰的表现。

　　如何获得这些信息？一般网上就有。很多朋友不善于利用网络资源，这个不太好，要知道，尤其是那些自学的朋友，网络是我们和外界接触的几乎唯一手段。如何找它们？我不想说，因为我记得我找到那些东西一点也不费劲，自己去想。遇到问题了，多想想自己怎么解决，想不出来就再想，不要期待有人会给你直接的帮助。学什么东西都是这样。有很多人问我如何弄参考书，我觉得这种问题自己完全可以解决的，总期待着别人给你建议，不去自己找答案，会养成惰性的。在这里我就简单说一下：

　　www.xxx.edu.cn是中国的教育机构域名格式，在www.后面加上math，一般你就会到达该学校的数学系，好好翻翻，一般在这里都能找到你想要的信息，找不到，那别的地方找到的可能性也就不大了。

　　bbs.xxx.edu.cn是该大学的BBS地址，个人推荐www上站方式。去什么地方找朋友或者信息呢？全国只有北京大学和中国科技大学开设有数学研讨专栏，进“学术研讨”就可以了。别的大学，可以去院系一类，直接到学院版，去问一些你想问的问题，注意你提问的方式，有的时候不恰当的提问方式会让人不愿意回答的，那里没有人有义务给你回答问题。网上现成的问题，一般也不会有人回答的。多去精华区之类的翻翻。

　　然后就是考研究生。永远也不要指望你个人的能力有多强，溶入正规学习途径是有成绩的唯一方法。至于考哪个学校的。这就是个有学问的问题了。很多朋友抱定北京大学，其实我觉得，北京大学也不见得就是国内最好的，而且由于众所周知的原因，竞争十分的激烈，所以不是很好的选择。不过考试不难，我看过试题，想要的话呢，可以联系北京大学的数学学院办公室，或www.kaoyantj.com之类的网上，也有卖的。别的学校也差不多。不过有个特殊的就是中国科学院，它的试题网上是没卖的，我是现跑到北京买的，查点被隔离。做一做题，感觉一下再决定报考。另外很多朋友忽视了考研的公共课。这是很不好的。

　　考研究生考的可不光是数学。再有有些朋友只准备考研的几个考试科目，那也不行！我可以很负责的告诉大家，只准备那么几科，研究生侥幸考上了你也念不下来。选导师呢，建议选些名气不是特别大的，名师一般不会有很多时间辅导你，所以不如找个实际点的。选择方向要根据自己的特长，记得你最喜欢的不一定就是你擅长的。另外各个大学擅长的科目都不太一样，不能盲目奔着名气去。

　　如何选用参考书

　　然后买参考书，个人感觉，参考书纯属扯蛋，不理解为什么那么多朋友死活要买北大或某校的什么什么书争相传阅。所谓参考书，指的是说：我们的考试大纲基本和该书一致，一般不会超出该书程度很多。但是我遇到的多数是一些刚开始学习的朋友，给你们个建议，我一样也迷信过参考书，但是读完再看别的，就发现不少参考书都不太适合自行阅读，有很多甚至可以用“烂”来形容。比如北大的高代参考书，抽代参考书，个人感觉写的很详细也的确不错，但是就是不适合学习，没什么办法，太平淡了，从书里根本就看不出来什么新鲜的内容。看这个书有被误导的可能。好好学习就不怕什么参考书，这是我的个人意见，因为数学这个学科和别的不太一样有各自的特点。所以个人感觉参考书参考意义不大，尤其是对刚开始学习的人。

　　当然，看参考书绝对没坏处，www.chiuchang.com.tw/jiuzhang是中国著名的唯一一个数学专业书店九章书店的网址，小书店不错的，海淀图书城2楼角落里，就是不知道为啥要在台湾弄一个主页。现在不赚钱已经倒闭了。一般市面上的书它那都有，想要什么就去邮购，就可惜不打折:(。海淀的书都打的。再就是比较好的数学论坛，我只推荐北大的BBS，那里人气比较好，学院那个论坛早就没人管了，在哪基本得不到什么有用的信息。然后图书馆，这个是最重要的，很痛心很多朋友学数学却从来不知道进图书馆。非常非常多的好书，好习题集，市面上基本都买不到了，好多都是70、80年代出版的。有些图书馆是开放的，好象我家乡的省图书馆就是随便进，好在数学书人看的就不多，所以也没几本丢的。我从高一立志要看懂那两长排书架上的书开始学数学，现在看懂快一半了。呵呵。

　　图书馆比什么都重要，一点也不假！什么样的书好呢？从上面网上得到信息以外，你就要自己去图书馆翻，那的书不管看不看的懂我几乎都看过，所以一般的图书馆能有什么样的书心里就有了数，学习下一个学科的时候，肚子里就知道了不少东西，就不着慌也能很好的那派一下学习步骤。我现在手里有一打图书证，不过学校封了很多书都没法还就慌了我了。多看书，比对一下，为什么有的书要这么讲，有的书要那么讲，马上你就能感觉到哪里有文章，哪里很俗了，好象我现在看的表示论，我看的是从GL(n)的线性群入手，但是有很多书是从G-模讲的，有些英文的书直接入手从复表示，都很有想法。这就是书看多了的好处。当然了，必须有一个中心，有一本吃的非常透的（最好是名著），就是华先生说的，要有看家本领。图书馆有很多英文书！这个就是学问了。我个人觉得，研究生的书如果不看英文的简直就是暴殄天物，GTM系列有的是好书，有些就已经很适合本科阅读了。对了追求，偶推荐你一个：Real and Abstract Analysis。具体什么号不记得了，挺好的适合你们学测度的人看。

　　数学专业英语不难，看看就会了。没啥特殊的，只要英语说的过去一般都可以阅读。不过大量阅读就头疼，不习惯啊~：）大多数图书馆的英文书都是开放初期复印的，连影印都不是。所以一般不入计算机库，如果想知道的话，可以去ww.nlc.gov.cn, 一般你叫的出名字来的书那里都有。可以看看这本书在国内有没有。

　　想大概了解一下书的内容的，去www.loc.gov一般的好书都有点书评的。有条件的同学可以买一个超星的卡，支持正版！然后就是做题！个人感觉，做题的重要性不言而喻，至于怎么做呢？我喜欢苏联式的教育，就是地狱式学习法……不喜欢西方的讲求对知识的理解最重要，个人认为，不做大量习题，对知识的理解根本就不可能，至少我是，因为我比较笨，领会力差。大家都听说过田刚所谓的四年四万道题吧。其实那是吓唬外行的。算一算就知道每天努力学习，其实不难。

　　各种数学参考书

　　我知道的各个学科的习题集或参考书呢：

　　数学分析， 这个不用说了，太多了，我首推机密多为期，但是这个绝对不够，偶还推一本高教的绿皮很厚姜什么的，然后是徐利治的典型例子（图书馆），再有一本武汉大学的超大，46元，很难。另外diadonne写过一个很好的《现代分析引论》有中译本，是用拓扑观点写的很高。这几本差不多了。

　　高代， 我现在看的是复旦的，很好很难，中科大其实也有好的，好象是查建国写的，但是买不到：（是内部讲义，哪位朋友帮我弄，我感谢他。

　　实变， 有个实分析的反例，挺好，真正意义上的习题集有一本苏联人写的，叫什么鄂强，还有华中师范出了一本，白皮，真正的习题集，适合考前冲刺（顺便说一句实变挺难，这本书由于有详细解答，其实是很不错的，但是可别过分依赖它）.

　　复变，就我说的那个，不多alfors的，到现在还是经典。

　　常微, 推荐一个日本人写的，啥名忘了，全是解方程，我觉得这是基本功，必须扎实，所以推荐它，Arnold写的一本用拓扑的角度来看常微的也很好。被我丢了……

　　拓扑, 偶这里有绝版苏联人的习题集，超厚。推荐amstrong的那本，比北大的好很多，尤其是hausdorff空间那。

　　泛函, 没多少习题集，我这有南京工学院的一本，太简单了只适合看一个星期。对了，泛函还有《Hilbert空间问题集》 Halmos的名著。特难，呵呵。

　　抽代， 最气人。我学的时候翻遍了我能去的所有的图书馆，没有习题集，我看了几乎所有的抽代教材，勉强算是看完了北大的大蓝本。然后习题集出来了……吐血。不过挺好自己锻炼了许多。个人认为看jacbson的basic algebra需要勇气。Serg Lang的也不错的说，从范畴入手。再深一点的课程就没啥好的习题集了，好习题也不多。

　　微分几何, 多卡摸那本就完全足够了，看完大家就会发现看陈维桓那本简直就是在浪费时间。

　　交换代数, 看北大的那个《代数学》其实就很不错很不错了，深入浅出又不难。另外还有GTM，扎里司机和萨莫爱尔，两个沃尔夫奖。

　　数论， 其实就是北大的大厚本最好，十分详尽，适合打基础。还有Hardy的名著《Introduction to The Number Theory》一本定理集！

　　分析， 其实是非常非常重要的一门学科，可惜很多人不重视。所以学泛函就吃力。偶推荐陈建功。

　　代数数论， 偶爱死冯可勤的那本中科院参考书了。还有潘氏（是兄弟不？？）写的那个简单点的。

　　李群， 还是北大的那个什么项武义的好了。

　　实分析嘛， 偶还没看，不过知道好书就是程民德的那本，当过几天枕头后来没时间就没看。

　　偏微分， 就是偶发疯买的那本三卷的，好书是好书，太贵了……哎，入世后就这恶果啊。

　　再谈数学学习方法

　　关于学数学，其实我推崇古典式训练法，在这种原则下，数学分析就变的不是特别的重要了。也许是我浅薄了吧，但是我始终觉得，反复的搞数学分析实际并没有什么好处，它的营养是有限的，应该把眼光放长一点。和你们举一个例子吧，现在出小学数学题，大多数人都会做全部，那你这几年都在学小学数学吗？那东西需要一段一段的回味提高的，闷头就知道学数学分析没什么出路的，这个可以肯定。

　　偶推荐的几个核心基础课是常微、数论、微分几何和拓扑.

　　这几门学科都很重要的说（其实哪个都很重要），但是在这些上下工夫大一点，会使你收益终生的。再有数学史，这个太重要了。我觉得一定要好好学学它。和大家举几个好玩的例子，大家也许就明白了一些道理。学抽象代数，环有理想，有唯一分解，域有分裂域等等的，而这些概念，最早都是来源于数论的，以前是没有代数学这个学科的。直到伽罗华发现可解群和方程的关系才诞生，而实变函数的研究晚于复变函数，和实数与复述相反，线性代数直到19世纪末才有突破，其实是很新的学科，这些如果不知道的话，学习的时候容易本末倒置的。

　　关于边缘学科，我不喜欢那些捧着纯数学鄙视经济学或计算之类的人，因为即使是边缘的，也是有很深的学问的。但偶不了解，就没啥发言的权利了。 多接触一些朋友对学习有极大的好处的他们会帮你少走不少弯路，但是走弯路是学习必不可少的过程，个人感觉，走的每一个弯路都是很有意义的。 多学习，多作题，少谈些理想。

　　很多人心都非常高，包括我，这是真的，但是我知道我的理想根本就实现不了。我是什么？一个普通的人而已，我能走多远，我比谁都清楚，是有理论限制的。我曾经在梦里想过做一个多么了不起的数学家。但是这东西，就好象缘分一样，可遇不可求的，真理大道上有伟人，更多的是倒下的无名的人士，我能做什么样的呢？学数学，多数只是为了一个信念，就是我要学好它，尽我最大可能学到最好。如果有些高度我到达不了，那我也不会很难过，因为我有过自己的贡献，我实现了我的人生价值，这就足够了。像我这样的人，不会是第一个，也不会是最后一个，多的很。眼光太高，反而容易形成急噪情绪。

　　记得有一本书，忘了哪个了，说过一句话（好象是吧）：

　　Approach your problems from the right end and begin with the answers, then one day, perhaps you will find the final problem.

　　很精辟的，送给大家。