协同控制笔记2.2——拉普拉斯矩阵相关引理

所阅读书目：《Cooperative Control of Multi-Agent Systems》

1.拉普拉斯矩阵L的特征值

引理 1：
有向图G的拉普拉斯矩阵L：
1.至少有一个零特征值，其对应的右特征向量为1
2.所有非零特征值都有正实部
3.当且仅当G具有一个有向生成树时，0是L的一个简单特征值。
4.L存在一个与零特征值相关的非负的左特征向量r，满足rTL = 0, r1 = 1。而且，如果G有一个有向生成树，r是唯一的。

引理 2：
1.当且仅当无向图是连接的(connected)，0是L的一个简单特征值
2.L的最小的非零特征值λ2：
引理 3：
假设G是强连接的。此时，有一个正的左特征向量r = [r1，··，rN]T与零特征值和RL + LTR≥0有关，其中r = diag(r1，···，rN)。

2.代数连通度

连接无向图的拉普拉斯矩阵L的最小非零特征值λ2常被称为费德勒特征值（Fiedler eigenvalue），表示了图的代数连通度。
对于有向图：
引理 4：
对于强连接有向图，其代数连通度定义为：（r,R如引理3中定义）

且a(L)>0

对于平衡图，定义为：

（λ2仍表示最小非零特征值）

3.一致性

引理 5：
z = [z1, · · · , zN]T ， zi ∈ R.
邻接矩阵：A ∈ R^(N×N), 拉普拉斯矩阵： L ∈ R^(N×N)

一致性：
对于闭环系统：
或者：
其中，aij表示A的元素，当且仅当G有一个有向生成树

另外，最终一致性：r^(T) z(0)
其中r为L的归一化左特征向量,与零特征值相关联。

4.拉普拉斯矩阵的另一种形式

，
由于顶点vi是0入度的，所以这里的矩阵D是奇异的，

为了避免混淆，进行如下定义：
标准化邻接矩阵： 标标准化拉普拉斯矩阵：
=
需注意：对于无向图，标准化拉普拉斯矩阵不是必然对称的。