协同控制笔记2.2——拉普拉斯矩阵相关引理

所阅读书目:《Cooperative Control of Multi-Agent Systems》

1.拉普拉斯矩阵L的特征值

引理 1
有向图G的拉普拉斯矩阵L:
1.至少有一个零特征值,其对应的右特征向量为1
2.所有非零特征值都有正实部
3.当且仅当G具有一个有向生成树时,0是L的一个简单特征值。
4.L存在一个与零特征值相关的非负的左特征向量r,满足rTL = 0, r1 = 1。而且,如果G有一个有向生成树,r是唯一的。

引理 2:
1.当且仅当无向图是连接的(connected),0是L的一个简单特征值
2.L的最小的非零特征值λ2:
引理 3:
假设G是强连接的。此时,有一个正的左特征向量r = [r1,··,rN]T与零特征值和RL + LTR≥0有关,其中r = diag(r1,···,rN)。

2.代数连通度

连接无向图的拉普拉斯矩阵L的最小非零特征值λ2常被称为费德勒特征值(Fiedler eigenvalue),表示了图的代数连通度。
对于有向图:
引理 4:
对于强连接有向图,其代数连通度定义为:(r,R如引理3中定义)
在这里插入图片描述
且a(L)>0

对于平衡图,定义为:
在这里插入图片描述
(λ2仍表示最小非零特征值)

3.一致性

引理 5:
z = [z1, · · · , zN]T , zi ∈ R.
邻接矩阵:A ∈ R^(N×N), 拉普拉斯矩阵: L ∈ R^(N×N)

一致性:在这里插入图片描述
对于闭环系统:
在这里插入图片描述或者:在这里插入图片描述
其中,aij表示A的元素,当且仅当G有一个有向生成树

另外,最终一致性:r^(T) z(0)
其中r为L的归一化左特征向量,与零特征值相关联。

4.拉普拉斯矩阵的另一种形式

在这里插入图片描述在这里插入图片描述
由于顶点vi是0入度的,所以这里的矩阵D是奇异的,在这里插入图片描述

为了避免混淆,进行如下定义:
标准化邻接矩阵:在这里插入图片描述 标标准化拉普拉斯矩阵:在这里插入图片描述
= 在这里插入图片描述
需注意:对于无向图,标准化拉普拉斯矩阵不是必然对称的。

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