溺于恐
溺于恐

高等代数理论基础9：复系数与实系数多项式

复系数与实系数多项式

代数基本定理

定理：每个次数的复系数多项式在复数域中有一根

等价叙述：每个次数的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式

注：由定理可知复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的,即不可约多项式只有一次多项式

复系数多项式因式分解定理

定理：每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积

复系数多项式具有标准分解式

其中是不同的复数,

标准分解式说明每个n次复系数多项式恰有n个复根(重根按重数计算)

实系数多项式因式分解定理

引理：若是实系数多项式f(x)的复根,则的共轭数也是f(x)的根

证明：

定理：每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积

证明：

实系数多项式有标准分解式

其中,,且不可约

即

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