CodeForces - 1055F Tree and XOR (01字典树)

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题意：

给你一棵树，每个结点上有点权，让你找出树上每一条 $xor$ 路径里面的值排第 $k$ 小的值是多少。

解题思路：

每一条 $xor$ 路径 $(u,v)$，我们可以看成是两条从根节点到 $u,v$ 的路径异或起来。

首先我们可以很快想到一个二分的做法，先在记录有多少条路径等于这个值，二分一个值，然后比较和 $k$ 的关系。

然而，这样的复杂度是 $O(nlognlogn)$ 的，显然不行。

那么，我们可以考虑按位得出答案。

01字典树， 从高位到低位，两条分别从根节点到 $u,v$ 的路径，在代码里记为 $p1,p2$ 数组。

我们可以考虑答案的这一位取 $1$ 的情况，那么就只有这一位取 $0$ 的路径数时候比 $k$ 少的时候才能取。否则答案这一位就取 $0$。

发现空间不够，所以我们还要滚动一下。

代码：

#include 
#include 
using namespace __gnu_cxx;
using namespace std;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define pii pair
#define eps 1e-6
#define debug(a) cout << #a": " << a << endl;
#define eularMod(a, b) a < b ? a : a % b + b
inline int lowbit(int x){ return x & -x; }
const int N = 1e6 + 10;
const int mod = (int) 23333;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const long long LINF = (1LL << 62);
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const double PI = acos(-1.0);

LL v[N];
int p1[N << 1], p2[N << 1];
int ch[N << 1][2];
int sz[N << 1];
int cnt;

int main() {
#ifdef purple_bro
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    int n;
    LL k;

    scanf("%d%lld", &n, &k);

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int p;
        LL val;

        scanf("%d%lld", &p, &val);
        v[i] = v[p] ^ val;
    }

    for (int i = 0; i < n * 2 + 9; i++) {
        p1[i] = p2[i] = 1;
        // 这里起始结点编号从 1 开始，所以滚动的从 n 开始
    }
    LL ans = 0;
    for (int j = 62; j >= 0; j--) {
        cnt = (j & 1) ? 0 : n;
        LL last = k;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int &p = p1[i];
            bool tag = v[i] >> j & 1;
            if (!ch[p][tag]) {
                ++cnt;
                ch[cnt][0] = ch[cnt][1] = sz[cnt] = 0;
                ch[p][tag] = cnt;
            }
            sz[p = ch[p][tag]]++;
            // 记录 u 路径有多少个
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int p = p2[i];
            bool tag = v[i] >> j & 1;

            last -= sz[ch[p][tag]];
            // 有多少条路径使， v 路径对应和 u 路径 xor 后这一位为 0
        }

        bool tmp = 0;

        if (last > 0) {
        	// 说明答案这一位可以为 1
            tmp = 1;
            ans |= (1LL << j);
            k = last;
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int &p = p2[i];
            bool tag = v[i] >> j & 1;
            p = ch[p][tag ^ tmp];
        }
    }

    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}