第二十一讲 卷积公式

一，卷积公式：

• 已知：，
• 设：
• 求：
• 因为拉氏变换是由幂级数变过来的，所以上面的问题可以转换为下面的问题方便计算：

1. 已知：，
2. 设：
3. 求：，（求解过程省略）

• 解得卷积公式：
• 文字解读：两个函数的乘积，等于分别将它们变换后的乘积，再逆变换的结果，由于被变换卷在了一起，因此称为卷积。
• 满足交换律：

二，例1：

• 求：
• 代入卷积公式：
• 
• 验证：

1. 因为：，，
2. 所以：

三，例2：

• 求：，（）
• 代入卷积公式：

四，证明卷积公式：

• 设：，
• 
• 利用二重积分性质：把和看成矩形的两条边，是矩形的面积。如下：
• 
• 令：，，，并代入下式：

1. 利用雅克比行列式将转变为：
2. 二重积分后半部分变为：

• 二重积分的积分限变为：如下图：
• 积分线从进，从出，得du的上下限；积分面从进，出，得dt的上下限
• 总结：
• 得到卷积公式：

五，应用（建立数学模型）：

• 有一种放射性物质被工厂倾倒，倾倒速率是，表示时刻，此时的倾倒量是，（表示时间段，从到一共可分为段）
• 问题：当工厂从时开始倾倒，到时为止，放射性物质一共有多少量？
• 难点：放射性物质被倾倒后会随时间衰变，假设物质的初始量是，衰变了时长后，剩下来的量是，取决于材料性质，这就是放射性衰变定律。
• 建立数学模型：
• 使：，（把看成公式的，把看成公式的）
• 同理：假如倾倒的不是放射性物质，只是垃圾，那么衰减率，求量的结果是
• 同理：假如物质是以的速率增长，求量的结果是