丧气小朋友
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【线性系统】四、状态空间的解法和实现（1）——线性非时变的解法和实现

解法

线性非时变（LTI）系统可被描述为

\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)     

y(t) = Cx(t) + Du(t)

进行拉普拉斯变换得到：

\hat{x}(s) = (sI-A)^{-1}[x(0)+B\hat{u}(s)]

\hat{y}(s) = C(sI-A)^{-1}[x(0)+B\hat{u}(s)]+D\hat{u}(s)

有两种方法计算(sI-A)^{-1}。

例：

A = \begin{bmatrix} 0 &-1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}

计算(sI-A)^{-1}。

方法1:

(sI-A)^{-1} = \begin{bmatrix}s&1\\-1& s+2 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{s^2+2s+1}\begin{bmatrix}s+2&-1\\1& s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{s+2}{(s+1)^2}&-\frac{-1}{(s+1)^2}\\\frac{1}{(s+1)^2}& \frac{s}{(s+1)^2} \end{bmatrix}

方法2:

A的特征值有两个，-1, -1。使 h(\lambda) = \beta_0+\beta_1\lambda。如果h(\lambda)等于f(\lambda): = (s-\lambda)^{-1}那么，

f(-1) = h(-1): (s+1)^{-1} = \beta_0-\beta_1;

{f}'(-1) = {h}(-1): (s+1)^{-2} = \beta_1 。

因此我们有h(\lambda) = [(s+1)^{-1}+(s+1)^{-2}]+(s+1)^{-2}\lambda和

(sI-A)^{-1} = h(A) = [(s+1)^{-1}+(s+1)^{-2}]I + (s+1)^{-2}A = \begin{bmatrix} (s+2)/(s+1)^{2} & -1/(s+1)^2 \\ 1/(s+1)^2& s/(s+1)^2 \end{bmatrix}

例：方程 \dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1& -2 \end{bmatrix}x(t) + \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}u(t) 的解为，

x(t) = e^{At}x(0)+\int_{0}^{t}e^{t-\tau}Bu(\tau)d\tau。

其中e^{At}是(sI-A)^{-1}的拉普拉斯反变换，我们已经通过上一个例子进行了计算。

e^{At} =\L^{-1}\begin{bmatrix} (s+2)/(s+1)^{2} & -1/(s+1)^2 \\ 1/(s+1)^2& s/(s+1)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+t)e^{-1} &-te^{-t} \\ te^{-t}& (1-t)e^{-1} \end{bmatrix}

且

x(t) = \begin{bmatrix} (1+t)e^{-1} &-te^{-t} \\ te^{-t}& (1-t)e^{-1} \end{bmatrix}x(0)+\begin{bmatrix} -\int_{0}^{t}(t-\tau)e^{-(t-\tau)}Bu(\tau)u(\tau)d\tau\\ \int_{0}^{t}[1-(t-\tau)]e^{-(t-\tau)}Bu(\tau)u(\tau)d\tau \end{bmatrix}

  • 离散化

\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)     

y(t) = Cx(t) + Du(t)

离散化为：

{x}(k+1) = A_dx(k) + B_du(k)     

y(k) = C_dx(k) + D_du(k)

其中：

A_d = e^{AT}, B_d = (\int_{0}^{T}e^{A\tau}d\tau)B, C_d = C, D_d = D

等效状态方程

\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)（1）

y(t) = CX(t) + Du(t)（2）

这里A是一个映射在n维实空间\Re ^{n}的n \times n常矩阵。

定义：P为一非奇异矩阵，\bar{x} = Px。 

\dot{\bar{x}}(t) = \bar{A}\bar{x}(t) + \bar{B}\bar{u}(t)（3）

y(t) = \bar{C}\bar{x}(t) + \bar{D}\bar{u}(t)（4）

其中 \bar{A} = PAP^{-1}, \bar{B} = PB, \bar{C} = CP^{-1}, \bar{D} = D（5），这个变换被称为等效变换。

（5）是由带入 x(t) = P^{-1}\bar{x}(t) 和 \dot{x}(t)= P^{-1}\dot{\bar{x}}(t) 到（1）、（2）得到的。

（1）（2）和（3）（4）具有相同的特征值。由 det(P)det(P^{-1}) = 1 可得。

\bar{\Delta}(\lambda ) = det(\lambda I-\bar{A}) = det(\lambda PP^{-1}-PAP^{-1}) = det(P(\lambda I -A)P^{-1}) = det(P)det(\lambdaI-A )det(P^{-1}) = det(\lambda I-A) = \Delta (A)

同时

\hat{\bar{G}}(s) = \bar{C}(sI-\bar{A})^{-1}\bar{B} + \bar{D} = ... = \hat{G}(s), 转移矩阵相等。 这时两个状态方程零状态等效。

 

例一：

有状态方程

\dot{x}(t) = \left \begin{bmatrix} \lambda &0 \\ 0& \bar{\lambda } \end{bmatrix}x(t) +\begin{bmatrix} b_{1}\\ \bar{b_{1}} \end{bmatrix}u(t)

y(t) = \begin{bmatrix} c_{1} & \bar{c_{1}} \end{bmatrix} x(t)

字母上的横线代表共轭复数。证明等式可以被变换成\dot{\bar{x}}(t) = \bar{A}\bar{x}(t) + \bar{B}\bar{u}(t)，y(t) = \bar{C}\bar{x}(t)，

其中\bar{A}= \left \begin{bmatrix} 0 &1 \\ {-\lambda\bar{\lambda}}& \lambda+\bar{\lambda } \end{bmatrix}，\bar{b} = \begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}，\bar{c_{1} } = \begin{bmatrix}-2Re(\bar{\lambda}b_{1}c_{1})])&2Re(b_{1}c_{1}) \end{bmatrix}，其中用到x = Q\bar{x}其中

Q= \left \begin{bmatrix} -\lambda b_{1} &b_{1} \\ {-\lambda\bar{b}_{1}}& \bar{b}_{1}\end{bmatrix} 。

（求出Q的逆，直接按（5）计算即可）

 

例二：

这两个状态空间方程是否等效？是否零状态等效？

\dot{x}(t) = \left \begin{bmatrix}2 &1&2 \\ 0&2&2\\0&0&1} \end{bmatrix}x(t) +\begin{bmatrix} 1\\ 1\\0} \end{bmatrix}u(t)

y(t) = \begin{bmatrix} 1 & -1&0} \end{bmatrix} x(t)

和

\dot{x}(t) = \left \begin{bmatrix}2 &1&1 \\ 0&2&1\\0&0&-1} \end{bmatrix}x(t) +\begin{bmatrix} 1\\ 1\\0} \end{bmatrix}u(t)

y(t) = \begin{bmatrix} 1 & -1&0} \end{bmatrix} x(t)

（求特征值，若不相等则不等效。）

 

实现

每个线性非时变（LTI）系统可被描述为

\hat{y}(s) = \hat{G}(s) \hat{u}(s) （1）

同时，如果系统是集总的，其状态空间可被描述为：

\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)     （2）

y(t) = Cx(t) + Du(t)

如果状态方程已知，转移矩阵可被表示为：

\hat{G}(s) = C(sI-A)^{-1}B+ D（3）

其中\{A,B,C,D\}被称为\hat{G}(s)的实现。

 

定理：转移矩阵\hat{G}(s)可实现，当且仅当\hat{G}(s)是一个真有理矩阵。

\hat{G}_{sp}(s): = C(sI-A)^{-1}B+ D = \frac{1}{det(sI-A)}C[Adj(sI-A)]B （4）

  • 如果A为n\times n，det(sI-A)为n度。

\hat{G}(\infty) = D（5）

  • 如果\hat{G}(s)是一个q\times p 有理矩阵，就存在它的实现，

\hat{G}(s) = \hat{G}_{sp}(s) + \hat{G}(\infty) （6）。

设多项式d(s) = s^{r}+\alpha_{1}s^{r-1}+...+\alpha_{r-1}s+\alpha_{r} （7）monic（最高次项的系数必须为1)， 为 \hat{G}_{sp}(s) 的所有元素最小公分母。

则 \hat{G}_{sp}(s) = \frac{1}{d(s)}[N(s)] = \frac{1}{d(s)}[N_{1}s^{r-1}+N_{2}s^{r-2}+...+N_{r-1}s+N_r]（8），

其中N_{i}为q\times p 常矩阵。

可以得到：

\dot{x} = \begin{bmatrix} -\alpha_{1}I_{p} &-\alpha_{2}I_{p} & ... &-\alpha_{r-1}I_{p} & -\alpha_{r}I_{p}\\ I_{p}& 0 & ... & 0&0 \\ 0 & I_{p}& ... & 0& 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0& ...& I_{p}& 0 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} I_{p}\\0\\0\\\vdots\\0 \end{bmatrix}u（9）其中I_{p}是n\times n单位矩阵。

y = \begin{bmatrix} N_{1} &N_{2} & ...&N_{r-1} & N_{r} \end{bmatrix}x+\hat{G}(\infty)u

为 \hat{G}(s) 的实现。

例一：有理矩阵 \hat{G}(s) = \begin{bmatrix} \frac{4s-10}{2s+1}&\frac{2}{s+2} \\ \frac{1}{(2s+1)(s+2)}& \frac{s+1}{(s+2)^2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 &0 \\ 0&0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{-12}{2s+1} &\frac{3}{s+2} \\ \frac{1}{(2s+1)/(s+2)} & \frac{(s+1)}{(s+2)^2} \end{bmatrix}（10）被分解为一个常矩阵和有理矩阵\hat{G}_{sp}(s)。

1.根据（7）计算\hat{G}_{sp}(s)中需要的最小公分母。2.根据（8）计算\hat{G}_{sp}(s)。3.根据（9）计算\hat{G}(s)的实现。

*特殊情况下，当\hat{G}(s)是一个q\times 1矩阵时，我们举一个q=2, r = 4的例子：

\hat{G}(s) =\begin{bmatrix} d_{1} \\ d_{2} \end{bmatrix}+\frac{1}{s^{4}+\alpha_{1}s^{3}+\alpha_{2}s^{2}+\alpha_{3}s+\alpha_{4}} \begin{bmatrix} \beta_{11}s^{3}+\beta_{12}s^{2}+\beta_{13}s^{1}+\beta_{14}\\\beta_{21}s^{3}+\beta_{22}s^{2}+\beta_{23}s^{1}+\beta_{24}\end{bmatrix}（11）

的实现为

\dot{x} = \begin{bmatrix} -\alpha_{1} &-\alpha_{2}& -\alpha_{3}& -\alpha_{4}\\ 1& 0 & 0&0 \\ 0 & 1& 0& 0\\ 0 & 0 & 1 & \0 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}u（12）

y = \begin{bmatrix}\beta_{11}+\beta_{12}+\beta_{13}+\beta_{14}\\ \beta_{21}+\beta_{22}+\beta_{23}+\beta_{24}\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} d_{1}\\d_{2}\end{bmatrix}u

例二：

只看（10）的第一列：

\hat{G}_{c1}(s) = \begin{bmatrix} \frac{4s-10}{2s+1}\\ \frac{1}{(2s+1)(s+2)} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{(4s-10)(s+2)}{(2s+1)(s+2)} \\ \frac{1}{2s^{2}+5s+2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4s^{2}-2s-20}{2s^{2}+5s+2} \\ \frac{1}{2s^{2}+5s+2} \end{bmatrix}（13）

d(s) = s^{2}+2.5s+1（14）

由（12）：

\dot{x} = \begin{bmatrix} -2.5 &-1\\ 1& 0\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}u（13）

y = \begin{bmatrix}-6&-12\\0&0.5\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 2\\0\end{bmatrix}u

 

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  • 初识DISC 父母大脑课堂徐徐
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    一乐日记今天以下是每天定投数据：第一项：学习数据今天学习理论法5小时。第二项：健身数据今天走路微信统计5124步。另外抱着一乐在房子走路有2000步，因为没有带手机，所以没统计上去。俯卧撑40个，仰卧起坐30个。第三项：快手数据每天发一幅图片配文字今日更新数据：（发布后24小时数据）播放140次，点赞0次，总粉丝数8个。………………………………特别说明：关注一乐日记，免费领取书籍！每天更新一篇文章
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             系统： 64位win7， 开发环境：sublime text 2，  go版本： 1.4.1    1.  安装前准备(gcc, gdb, git)        golang在64位系
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          编程也有2年了，刚开始不懂的什么都跟需求走，需求是怎样就用代码实现就行，也不管这个需求是否合理，是否为较好的用户体验。当然刚开始编程都会这样，但是如果有了2年以上的工作经验的程序员只知道一味写代码，而不在写的过程中思考一下这个需求是否合理，那么，我想这个程序员就只能一辈写敲敲代码了。       我的技术不是很好，但是就不代
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    android界面的操作就是很多个activity之间的切换,启动模式决定启动的activity的生命周期 ;   启动模式xml中配置     <activity android:name=".MainActivity" android:launchMode="standard&quo
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    Spring不但支持自己定义的@Autowired注解，还支持由JSR-250规范定义的几个注解，如：@Resource、 @PostConstruct及@PreDestroy。   1. @Autowired    @Autowired是Spring 提供的，需导入    Package:org.springframewo
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    JAX-WS SOAP Version 1.2 Part 0: Primer (Second Edition) SOAP Version 1.2 Part 1: Messaging Framework (Second Edition) SOAP Version 1.2 Part 2: Adjuncts (Second Edition)   Which style of WSDL
  • 【Hadoop二】Hadoop常用命令 bit1129 hadoop
    以Hadoop运行Hadoop自带的wordcount为例，   hadoop脚本位于/home/hadoop/hadoop-2.5.2/bin/hadoop，需要说明的是，这些命令的使用必须在Hadoop已经运行的情况下才能执行   Hadoop HDFS相关命令  hadoop fs -ls  列出HDFS文件系统的第一级文件和第一级
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    从学习到现在从事java开发一年多了，个人觉得对java只了解皮毛，很多东西都是用到再去慢慢学习，编程真的是一项艺术，要完成一段好的代码，需要懂得很多。 最近项目经理让我负责一个组件开发，框架都由自己搭建，最让我头疼的是异常处理，我看了一些网上的源码，发现他们对异常的处理不是很重视，研究了很久都没有找到很好的解决方案。后来有幸看到一个200W美元的项目部分源码，通过他们对异常处理的解决方案，我终
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    1）那位同学还是CSV文件默认Excel打开看不到全部结果。以为是没写进去。同学甲说文件应该不分大小。后来log一下原来是有写进去。只是Excel有行数限制。那位同学进步好快啊。 2）今天同学说写文件的时候提示jvm的内存溢出。我马上反应说那就改一下jvm的内存大小。同学说改用分批处理了。果然想问题还是有局限性。改jvm内存大小只能暂时地解决问题，以后要是写更大的文件还是得改内存。想问题要长远啊
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    刚开始用java.util.Zip，发现不支持中文（网上有修改的方法，但比较麻烦） 后改用org.apache.tools.zip org.apache.tools.zip的使用网上有更简单的例子 下面的程序根据实际需求，实现了压缩指定目录下指定文件的方法 import java.io.BufferedReader; import java.io.BufferedWrit
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    1、JSTL 核心标签库标签 2、避免SQL注入 3、字符串逆转方法 4、字符串比较compareTo 5、字符串替换replace 6、分拆字符串 1、JSTL 核心标签库标签共有13个， 学习资料：http://www.cnblogs.com/lihuiyy/archive/2012/02/24/2366806.html 功能上分为4类： (1)表达式控制标签：out
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          各种模拟电子和数字电子教材中都有这个词汇-空穴       书中对这个词汇的解释是; 当电子脱离共价键的束缚成为自由电子之后,共价键中就留下一个空位,这个空位叫做空穴       我现在回过头翻大学时候的教材,觉得这个
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    Flashback 技术是以Undo segment中的内容为基础的， 因此受限于UNDO_RETENTON参数。要使用flashback 的特性，必须启用自动撤销管理表空间。 在Oracle 10g中， Flash back家族分为以下成员： Flashback Database， Flashback Drop，Flashback Query(分Flashback Query,Flashbac
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    public void insertSort(int[] array){ int temp; for(int i=1;i<array.length;i++){ temp = array[i]; for(int k=i-1;k>=0;k--)
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    # include <stdio.h> int main(void) { int * p; //等价于 int *p 也等价于 int* p; int i = 5; char ch = 'A'; //p = 5; //error //p = &ch; //error //p = ch; //error p = &i; //
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    前提是要配置好yum源 版本icehouse，操作系统redhat6.5 最简化安装，不要cinder和swift 三个节点 172 control节点keystone glance horizon 173 compute节点nova 173 network节点neutron control /etc/sysctl.conf net.ipv4.ip_forward =
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    1. 类就可以看作一个struct，类的方法，可以理解为通过函数指针的方式实现的，类对象分配内存时，只分配成员变量的，函数指针并不需要分配额外的内存保存地址。 2. c++中类的构造函数，就是进行内存分配(malloc)，调用构造函数 3. c++中类的析构函数，就时回收内存(free) 4. c++是基于栈和全局数据分配内存的，如果是一个方法内创建的对象，就直接在栈上分配内存了。 专门在
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    要解决这个问题的时候，到网上查了很多方案，最后计算出来的都与百度计算出来的有出入。下面这个公式计算出来的距离和百度计算出来的距离是一致的。 /** * * @param longitudeA * 经度A点 * @param latitudeA * 纬度A点 * @param longitudeB *
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