【题解】【NHOI2018 初中组】问题 F 博览会（exhibition）

问题 $\text{F}$ 博览会 $\text{(exhibition)}$

题目描述

某市正在举行一场大型博览会，博览会有 $n$ 个展馆，每个展馆里有若干个展台。这 $n$ 个展馆以及它们之间的道路可以看成一棵二叉树，博览会的出入口设在根节点—— $1$ 号展馆，小明将从这里出发乘坐电瓶车到各个展馆参观，并最终回到 $1$ 号展馆出口。
由于路程差异，乘坐电瓶车往返不同展馆间的费用也有所区别。出发时，小明的乘车卡里余额为 $k$。他现在想知道，若全程都乘坐电瓶车，他最多能参观多少个展台？
说明：只要小明到达了某个展馆，就会参观该展馆内的所有展台，若多次参观同一个展台不重复计算。

输入

输入共 $n+2$ 行：
第 $1$ 行为 $2$ 个整数 $n,k$，用一个空格隔开，表示展馆个数和小明乘车卡初始余额。
第 $2$ 行为 $n$ 个数，用一个空格隔开，表示 $1$ 号至 $n$ 号各展馆的展台数目。
接下来 $n$ 行，每行 $4$ 个数，用一个空格隔开；第 $i+2$ 行 $4$ 个数分别表示展馆 $i$ 左子节点展馆号、到左子节点展馆的费用、右子节点展馆号、到右子节点展馆的费用。如果子节点展馆号为 $0$ 则表示没有对应的子节点展馆。

输出

输出共 $1$ 行，$1$ 个整数，表示小明最多能参观的展台数量。

样例输入

10 20
2 8 5 1 10 5 9 9 3 5
2 1 3 2
4 8 5 2
6 2 7 2
8 3 9 6
0 0 10 2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

样例输出

39

提示

【样例说明】根据样例数据，可以得到如下展馆二叉树示意图（每个圈内标示了展馆号及展台数）：

由图可知，小明沿红色箭号路径，到 $1,2,5,3,6,7$这六个展馆参观并返回，往返乘车费用为 $18$，参观展台数为 $39$，为能够实现的最大值。

【数据范围】

对于 $40\%$ 的数据：$1\le n\le 10,1\le k\le 20$；

对于 $100\%$ 的数据：$1\le n\le 50,1\le k\le 100$；所有展馆的展台总数不超过 $105$。

题解

这题是道树形 $\mathtt{D}\mathtt{P}$，和 【$\text{CTSC 1997}$】选课 这题差不多，只是有边权代价的存在，直接树上$01$背包即可。

$f_{u,j}$ 表示以 $u$ 为根节点的子树，代价为 $j$，所得到最多能参观的展台数量。
$W_i$ 表示 $i$ 的父亲到 $i$ 的边权。
状态转移方程：
$$f_{u,j}=\max \{f_{u,j},f_{E_i.to,k}+f_{u,j-2W_{E[i].to}}-k\}$$
另外，这道题有个毒瘤点：
scanf("%d%d%d...")是一起读入，而对于读入 $W_x$ 和 $W_y$，要分别读入 $x$ 和 $W_x$、$y$ 和 $W_y$。

$\text{Code}$

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int n,m,x,y,num_edge,W[51],DP[51][101],head[51],N[51];
struct EDGE {
    int to,next;
}E[51];
void ADD_EDGE(int u,int v) {
    if (!v) return;
    E[++num_edge].to=v;
    E[num_edge].next=head[u];
    head[u]=num_edge;
}
void DFS(int u,int f) {
    for (int i=0;i<=m;i++) DP[u][i]=N[u];
    for (int i=head[u];i;i=E[i].next) {
        if (E[i].to==f) continue;
        DFS(E[i].to,u);
        for (int j=m;j>=2*W[E[i].to];j--)
            for (int k=0;k<=j-2*W[E[i].to];k++)
                DP[u][j]=max(DP[u][j],DP[E[i].to][k]+DP[u][j-2*W[E[i].to]-k]);
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&N[i]); 
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&x);
        scanf("%d",&W[x]);
        scanf("%d",&y);
        scanf("%d",&W[y]);
        ADD_EDGE(i,x);
        ADD_EDGE(i,y);
    }
    DFS(1,0);
    return !printf("%d",DP[1][m]);
}