病毒分裂 NOIP模拟 矩阵快速幂 分治数列求和

题面在最下方。

吐个槽，矩阵我没写long long挂了40分 （事实上正常写法不用long long，但。。我。。不正常）

首先推一下简单的结果找找感觉，就可以得到一个结论：第n个阶段的病毒数An=K^(n-1)

等比数列求和会吗？S_n=S₁+S₂+...+S_n=1+K+K²+...+K^n-1，由于题目说的是第n阶段前有多少个病毒分裂，那么答案就是S_n-1。

但是我们发现，这个坑逼玩意儿不太好求。

为啥？如果你用求和公式的话，要写个高精度，除啊模啊，想想都头大！如果你不用高精度 ，偏要O（n）枚举求和的话，本题n_max=10^18，那就非常有意思了。

怎么搞？都想到这里了，难道还要放弃？

天无绝人之路，本题解法一就出来了：这玩意可以分治解决！

思路：设问题求的是1 + K + K² + K³ + ⋯ + K^M, 对 此式子分治解决，先求得1 + K + ⋯ + K^M/2-1 , 然后K^M/2 + ⋯ + K^M等于前式乘以K^M/2 得到，将两式合并即可，而对于前半部分，递归使用以上算法即可，完美地避开 了除法运算。分治共log(N)层，每层只递归计算一边，然后合并调用快速幂，所 以总的复杂度为 O(log²(N))。

 1 #include
 2 #include
 3 using namespace std;
 4 #define LL long long
 5 LL N, K, P;
 6 
 7 LL ksm(LL x, LL k) {
 8     LL res = 1;
 9     for (; k>0; x=x*x%P, k>>=1)
10         if (k&1) res = res*x%P;
11     return res;
12 }
13 
14 LL sum(LL n) {
15     if (!n) return 0;
16     LL res = sum(n>>1);
17     LL res1 = (res + res * ksm(K, n>>1)) % P;
18     if (n & 1) return (res1 + ksm(K, n-1)) % P;
19     else return res1;
20 }
21 
22 int main()
23 {
24     freopen("split.in", "r", stdin);
25     freopen("split.out", "w", stdout);
26     cin >> K >> N >> P;
27     K %= P;
28     cout << sum(N - 1) << '\n';
29     return 0;
30 }

分治算法（思路简单，代码简单）

解法二：矩阵快速幂

 1 #include
 2 #include
 3 using namespace std;
 4 template<class T> inline void read(T &_a){
 5     int _ch=getchar();_a=0;
 6     while(_ch<'0' || _ch>'9')_ch=getchar();
 7     while(_ch>='0' && _ch<='9'){_a=(_a<<1)+(_a<<3)+_ch-'0';_ch=getchar();}
 8 }
 9 
10 long long k,n,p; 
11 
12 struct matrix
13 {
14     long long a[2][2];
15     matrix() {memset(a,0,sizeof(a));}
16     matrix operator * (matrix &x) const {
17         matrix res;
18         for (register int i=0;i<=1;++i)
19          for (register int v=0;v<=1;++v)
20           for (register int j=0;j<=1;++j)
21            res.a[i][v]+=a[i][j]*x.a[j][v],res.a[i][v]%=p;
22         return res;
23     }
24 };
25 
26 matrix clac(matrix a,long long b)
27 {
28     matrix res;
29     res.a[0][0]=res.a[1][1]=1;
30     while(b)
31     {
32         if(b&1) res=res*a;
33         b>>=1;
34         a=a*a;
35     }
36     return res;
37 }
38 
39 int main()
40 {
41     read(k); read(n); read(p);
42     matrix op;
43     op.a[0][0]=k; op.a[1][0]=op.a[1][1]=1;
44     op=clac(op,n-2);
45     long long ans=op.a[1][0]*k%p;
46     ans+=op.a[1][1];
47     printf("%lld",ans%p);
48     return 0;
49 }

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