5. 最长回文子串

5. 最长回文子串

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：
输入: “babad”
输出: “bab”
注意: “aba” 也是一个有效答案。

示例 2：
输入: “cbbd”
输出: “bb”

动态规划（DP）

我们观察一个回文子串“adbcbda”,则“dbcbd”,“bcb”,也是回文子串，同理，如果"bcb"是回文子串，则“dbcbd”和“adbcbda”也一定是回文子串。
所以这个问题可以转化为，如果区间$[i,j]$确定为回文子串，则判断区间$[i-1,j+1]$是否是回文子串，这个思路和分治法不同在于，是否进行判断区间$[i-1,j+1]$依赖与区间$[i,j]$确定为回文子串，即进行下一步需要确定当前步骤是正确的。（符合最优化原理）

• 第一步：确定起始位置，以此为中心向左右延申。
• 第二步：判断左右步长为1位置的字符是否相等，如果不相等则改变起始位置，反之步长加一重复第二步。
• 第三步：在第二步的过程中记录回文子串的长度，由于只要求输出一个值，所以对当前回文子串与已记录的子串进行比较，若长度更长则更新记录，负责不变。

需要考虑以下情况：
$$\{\begin{array}{rlr}P(i,j)& =& True\\ P(i,j+1)& =& (S_i==S_j)\\ P(i,j)& =& P(i+1,j-1)\wedge (S_i==S_j)\end{array}$$

$dp[i][j]$ 表示子串 $s[i..j]$ 是否为回文子串，这里子串 $s[i..j]$ 定义为左闭右闭区间，可以取到 $s[i]$ 和 $s[j]$。
$dp[i][j]=(s[i]==s[j])anddp[i+1][j-1]$

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        n=len(s)
        res=(0,'') #res[0]记录长度，res[1]记录回文子串
        dp=[[0]*n for _ in range(n)]
        for j in range(n):
            for i in range(j+1):
                if s[i]==s[j] and (j-i+1<=3 or dp[i+1][j-1]):
                #当子串长度为1或2时，判断本身是否构成回文子串
                #当子串长度大于等于3时，检查dp[i+1][j-1]是否构成回文子串
                    dp[i][j]=1
                    cur=s[i:j+1]
                    if len(cur)>res[0]:
                        res=(len(cur),cur)
        return res[1]

暴力法

由长到短枚举所有可能子串，直到找到第一个回文子串
可以用双指针优化

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        for s_length in range(len(s),-1,-1):
            for i in range(0, len(s)-s_length+1):
                sub_string = s[i:i+s_length]
                if sub_string == sub_string[::-1]:
                    return sub_string