实数序列离散傅里叶变换（DFT）的共轭对称性质

先在matlab中运行以一命令，观察一下结果： 

>> b=[1 2 3 4 5 6 7 8]

b =

     1     2     3     4     5     6     7     8

>> fft(b)

ans =

  Columns 1 through 5

  36.0000            -4.0000 + 9.6569i  -4.0000 + 4.0000i  -4.0000 + 1.6569i  -4.0000         

  Columns 6 through 8

  -4.0000 - 1.6569i  -4.0000 - 4.0000i  -4.0000 - 9.6569i

 

>> c=[1 2 3 4 5 6 7]

c =

     1     2     3     4     5     6     7

>> fft(c)

ans =

  Columns 1 through 5

  28.0000            -3.5000 + 7.2678i  -3.5000 + 2.7912i  -3.5000 + 0.7989i  -3.5000 - 0.7989i

  Columns 6 through 7

  -3.5000 - 2.7912i  -3.5000 - 7.2678i

观察可得，b的FFT变换结果（暂且记为B(k)吧）B(2)与B(8)、B(3)与B(7)、B(4)与B(6)互为共轭……

c的FFT变换结果（暂且记为C(k)吧）C(2)与C(7)、C(3)与C(6)、C(4)与C(5)互为共轭……

我们将FFT变换结果的下标从0开始，则重新记为B(1)与B(7)、B(2)与B(6)、B(3)与B(5)互为共轭；C(1)与C(6)、C(2)与C(5)、C(3)与C(4)互为共轭。

其实这是一个一般的规律，一个长为N的实数数组a，对其进行离散傅里叶变换得数组A，则A(i)与A(N-i)互为共轭，其i的取值与N的奇偶有关，详细如下：

1）N为偶数时，i=1,...,N/2-1，A(0)与A(N/2)各为其值，且肯定是实数；

2）N为奇数时，i=1,...,(N-1)/2，A(0)为实数

以上均将FFT变换结果的下标从0开始记录。

 

其实根据离散傅里叶变换的公式，我们还可以推导得出以下结论：

1）A(0)等于数组a各元素之和；2）当N为偶数时，A(N/2)=sum[(-1)^i*a(i)] , i=0,...,N-1

其实一切均可以从DFT的公式中得出：

 

此性质很重要，在FGPA编程实现时，对实序列进行FFT变换后可以只存储部分值即可，例如作8192点的实序列FFT变换，只需要存储前4097点即可，后面的4095个变换结果与第1~4096个结果互为共轭，这样就大大节省了FPGA的资源……