矩阵分解（三）——满秩分解

矩阵相关术语

秩、满秩

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目，通常表示为r(A)或rank A。
满秩：m × n矩阵的秩为m和n中的较小者。（设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵）

• 性质

1. 初等变换不改变矩阵的秩
2. 如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)
3. 矩阵的乘积的秩R_{ab<=min{Ra,Rb};}
4. 矩阵的行秩，列秩，秩都相等
5. 转置后秩不变
6. r(kA)=r(A),k不等于0
7. r(A+B)<=r(A)+r(B)
8. r(A)=0 <=> A=0

矩阵初等变换

矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。
定义：如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B称为等价。

• 初等行（列）变换

1. 互换矩阵中两行（列）的位置
2. 把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）
3. 一个非零的数p乘矩阵的某一行（列）

• 性质

1. 任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵
2. 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
3. 初等变换后，行列式值不变

初等矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

• 性质

1. 初等矩阵都是可逆矩阵，即非奇异矩阵
2. 单位矩阵第i,j两行互换得到的方阵为P_{ij ，将矩阵 B的第i,j两行互换所得矩阵B1 ，即有 B1 = Pij * B**（左乘行变换，右乘列变换）**}

阶梯型矩阵

阶梯型矩阵是矩阵的一种类型。它的基本特征是所给矩阵为阶梯型矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零。

初等矩阵求逆

1. 行交换（列交换）的初等矩阵，逆矩阵还是本身
2. 某一行（或列）乘以一个倍数的初等矩阵，逆矩阵，是这一行（或列）除以这个倍数的初等矩阵
3. 某一行（或列）乘以一个倍数，加到另一行（或列）的初等矩阵，逆矩阵，是这一行（或列）乘以这个倍数的相反数，加到另外那一行（或列）的初等矩阵

满秩分解（法1）

定义：对于m×n的矩阵A，假设其秩为r，若存在秩同样为r两个矩阵：C_{m×r（列满秩）和Dr×n（行满秩），使得A=CD，则称其为矩阵A的满秩分解。
当m×n矩阵A为列满秩矩阵时，则A=AIn（这时m≥n）就是一个满秩分解。
当m×n矩阵A为行满秩时，则A=ImA（这时m≤n）是一个满秩分解。
I表示单位矩阵}

• 性质

1. 满秩分解不唯一
2. 任何非零矩阵一定存在满秩分解

• 证明

矩阵A<sub>m × n，rank(A) = r (0
即B的后m-r行全为零，Drxn。对A做若干次初等行变换相当于对A左乘一个初等矩阵Pmxm。即
B = PA —》 A = P^-1B
然后将P^-1进行分块，即P^-1 = [C，M]，Cmxr、Mmx(m-r)可得：

因C是可逆矩阵P^-1 的前r列，所以C是一个m×r列满秩矩阵，D是r×n行满秩矩阵，故A=CD是A的一个满秩分解。</sub>

• 满秩分解不唯一证明

对A的一个满秩分解A=CD，若取K为任一r阶非奇异矩阵，则
A = （CK)(K^-1D)也是A的一个满秩分解。

• 例子

现在要计算下面矩阵A的满秩分解

为对A施行初等行变换后化为阶梯形矩阵B，并且记录初等矩阵的乘积P，故对分块矩阵[A，I<sub>m]施行初等行变换

所以可得：

由B可得D：

由初等矩阵P可求其逆矩阵

于是得A的一个满秩分解</sub>

满秩分解（法2）

1. 对A（R(A) = r）施行初等行变换化为行最简形矩阵B
2. 取矩阵B前r行，构成矩阵D
3. 对D矩阵前r行第一个非零元所在的列号，按此列号取矩阵对应的列组成矩阵C。
4. 最后矩阵A分解为