离散数学 总结思路

命题逻辑: 

复合命题：由简单命题用联结词联结

简单命题：李文和李武是朋友（特）

• 除非 p 否则 q :  ~p -> q
• 虽然 q 还是 p : p^q
• 只有 p 才 q ：q -> p

不是命题：2x+3>0 (因为无法判断真假)

永真式 = 重言式

永假式 = 矛盾式

真值表法  

一阶逻辑:

前束范式: 否定内移, 换名, 辖域扩张

量词只管辖后面第一个

集合的基本概念和运算:

幂集: 2^n个元素 , A的全体子集

对称差: 相并 - 相交

二元关系和函数

笛卡儿积: 有序对 (分前后)

恒等关系:

关系矩阵

定义域: domR        值域: ranR

限制 ⇡ (限制定义域取值)         像F[A]:  ran(F⇡A)

(F▫G)^(-1)  = G^(-1) ▫ F^(-1)

R⁰ =

逻辑加

传递性: 矩阵相乘 ≤ 矩阵

传递闭包: t(R) = R∪R²∪R³∪...

等价关系: 自反, 对称, 传递

偏序关系: 自反, 反对称, 传递

等价类 [x]R = {y| y∈A ^ xRy}

商集 (划分) A/R ={[x] | x∈ A}

哈斯图: 最大元 不同列的无法比较

单射: 一对一

满射: 定义域每个元素都有值

图的基本概念

平凡图: 只有一个顶点

n阶无向完全图 : 边数 = n(n-1)/2

n阶有向完全图 : 边数 = n(n-1)

生成子图 : 点相同

导出子图 : 都不同

简单通路: 边不同

初级通路 : 点不同 + 简单通路

割点 桥 强连通图

关联矩阵 : 相乘得到点邻接点的长度

二部图

无奇回路

欧拉图(回路)

无奇度顶点

半欧拉图 : 两个奇度顶点 (起点, 终点)

画法 : 避免走桥 (去掉已走的路, 来判断下一步选的是不是桥)

哈密顿图

每个顶点 仅一次 

有割点 或 桥 , 则不是哈密顿图

平面图

没有边相交

不是平面图 : K₅  和  K₃,₃

面的次数之和 = 边数的两倍

极大平面图

n - m - r = 2

m ≤ L(n - 2) /(L - 2)

对偶图 : 

树

• 不含回路
• m = n - 1
• 边数最少的连通图

层数 :从树根开始数

最佳前缀码 : 选两个最小的进行相加 (已选的去掉, 相加的结果插入待选)

波兰符号法: 前序行遍法

二元运算

• 幺元 (分左右)
• 零元
• 逆元

按位加 : 异或

群

• 封闭
• 结合
• 幺元
• 逆元

k 阶 : a^k = e (k为正整数)

子群 : x·y^(-1) ∈ 子群

循环群 : G = {a^k}